En la teoría de la probabilidad , el criterio de Kolmogorov , que lleva el nombre de Andrey Kolmogorov , es un teorema que da una condición necesaria y suficiente para que una cadena de Markov o una cadena de Markov de tiempo continuo sea estocásticamente idéntica a su versión de tiempo inverso.
El teorema establece que una cadena de Markov irreducible, positiva, recurrente, aperiódica con matriz de transición P es reversible si y solo si su cadena de Markov estacionaria satisface [1]
para todas las secuencias finitas de estados
Aquí p ij son componentes de la matriz de transición P , y S es el espacio de estados de la cadena.
Ejemplo
Considere esta figura que muestra una sección de una cadena de Markov con los estados i , j , k y ly las probabilidades de transición correspondientes. Aquí, el criterio de Kolmogorov implica que el producto de las probabilidades al atravesar cualquier bucle cerrado debe ser igual, por lo que el producto alrededor del bucle i a j a l a k que regresa a i debe ser igual al bucle al revés,
Dejar ser la cadena de Markov y denotar por su distribución estacionaria (tal existe ya que la cadena es positiva recurrente).
Si la cadena es reversible, la igualdad se sigue de la relación .
Ahora suponga que se cumple la igualdad. Fijar estados y . Luego
- .
Ahora sume ambos lados de la última igualdad para todas las posibles elecciones ordenadas de estados . Así obtenemos entonces . Enviar a en el lado izquierdo del último. De las propiedades de la cadena se sigue que, por eso lo que demuestra que la cadena es reversible.
El teorema establece que una cadena de Markov en tiempo continuo con matriz de tasa de transición Q es reversible si y solo si sus probabilidades de transición satisfacen [1]
para todas las secuencias finitas de estados
La prueba de las cadenas de Markov de tiempo continuo sigue de la misma manera que la prueba de las cadenas de Markov de tiempo discreto.