En matemáticas , hay varias funciones conocidas como función de Kummer . Uno se conoce como la función hipergeométrica confluente de Kummer. Otro, definido a continuación, está relacionado con el polilogaritmo . Ambos llevan el nombre de Ernst Kummer .
La función de Kummer está definida por
![\ Lambda _ {n} (z) = \ int _ {0} ^ {z} {\ frac {\ log ^ {{n-1}} | t |} {1 + t}} \; dt.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La fórmula de duplicación es
.
Compare esto con la fórmula de duplicación del polilogaritmo:
![\ operatorname {Li} _ {n} (z) + \ operatorname {Li} _ {n} (- z) = 2 ^ {{1-n}} \ operatorname {Li} _ {n} (z ^ {2 }).](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un enlace explícito al polilogaritmo viene dado por
![\ operatorname {Li} _ {n} (z) = \ operatorname {Li} _ {n} (1) \; \; + \; \; \ sum _ {{k = 1}} ^ {{n-1 }} (-) ^ {{k-1}} \; {\ frac {\ log ^ {k} | z |} {k!}} \; \ nombre de operador {Li} _ {{nk}} (z) \; \; + \; \; {\ frac {(-) ^ {{n-1}}} {(n-1)!}} \; \ left [\ Lambda _ {n} (- 1) - \ Lambda _ {n} (- z) \ derecha].](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)