Lema de Ky Fan

En matemáticas , el lema de Ky Fan (KFL) es un lema combinatorio sobre el etiquetado de triangulaciones. Es una generalización del lema de Tucker . Fue probado por Ky Fan en 1952. ^[1]

Sea T una triangulación simétrica antípoda en el límite de y L un etiquetado impar en el límite de  T .${\ estilo de visualización B_ {n}}$

Esto significa que, si el etiquetado L usa solo n tamaños diferentes (es decir , ), no puede tener un símplex alterno de n dimensiones.${\displaystyle L:V(T)\to \{+1,-1,+2,-2,\ldots,+n,-n\}}$

KFL se puede probar de manera constructiva en función de un algoritmo basado en rutas. El algoritmo comienza en un cierto punto o borde de la triangulación, luego va de símplex a símplex de acuerdo con las reglas prescritas, hasta que ya no es posible continuar. Se puede probar que el camino debe terminar en un símplex alterno.

La base es . En este caso, es el intervalo y su frontera es el conjunto . El etiquetado L es límite impar, por lo que . Sin pérdida de generalidad, suponga que y . Comienza en −1 y ve a la derecha. En algún borde e , el etiquetado debe cambiar de negativo a positivo. Dado que L no tiene aristas complementarias, e debe tener una etiqueta negativa y una etiqueta positiva con un tamaño diferente (por ejemplo, −1 y +2); esto significa que mi${\ estilo de visualización n = 1}$${\ estilo de visualización B_ {n}}$${\ estilo de visualización [-1,1]}$${\ estilo de visualización \ {-1,1 \}}$${\ estilo de visualización L(-1)=-L(+1)}$${\displaystyle L(-1)=-1}$${\displaystyle L(+1)=+1}$es un símplex alterno unidimensional. Además, si en algún punto el etiquetado vuelve a cambiar de positivo a negativo, entonces este cambio produce un segundo símplex alterno, y por el mismo razonamiento que antes debe haber un tercer símplex alterno posterior. Por lo tanto, el número de simples alternos es impar.

En este ejemplo, donde n  = 2, no hay símplex alternante bidimensional (ya que las etiquetas son solo 1,2). Por lo tanto, debe existir un borde complementario (marcado con rojo).