Fórmula de Laguerre

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La fórmula de Laguerre (llamada así por Edmond Laguerre ) proporciona el ángulo agudo entre dos líneas reales propias, ^{[1] [2] de la} siguiente manera:${\ Displaystyle \ phi}$

La fórmula de Laguerre puede ser útil en visión por computadora , ya que la cónica absoluta tiene una imagen en el plano retiniano que es invariante bajo los desplazamientos de la cámara, y la relación cruzada de cuatro puntos colineales es la misma para sus imágenes en el plano retiniano.

Se puede suponer que las líneas pasan por el origen. Cualquier isometría deja el invariante cónico absoluto, esto permite tomar como primera línea el eje xy la segunda línea que se encuentra en el plano z = 0. Las coordenadas homogéneas de los cuatro puntos anteriores son

respectivamente. Sus coordenadas no homogéneas en la línea de infinito del plano z = 0 son , , 0, . (Intercambia y cambia la relación cruzada a su inversa, por lo que la fórmula para da el mismo resultado). Ahora, a partir de la fórmula de la relación cruzada tenemos${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle -i}$${\ Displaystyle \ pm \ sin \ phi / \ cos \ phi}$${\ Displaystyle I_ {1}}$${\ Displaystyle I_ {2}}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle \ operatorname {Cr} (I_ {1}, I_ {2}, P_ {1}, P_ {2}) = - {\ frac {-i \ cos \ phi \ pm \ sin \ phi} {i \ cos \ phi \ pm \ sin \ phi}} = e ^ {\ pm 2i \ phi}.}$

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