En matemáticas , la función de Landau g ( n ), llamada así por Edmund Landau , se define para que cada número natural n sea el orden más grande de un elemento del grupo simétrico S n . De manera equivalente, g ( n ) es el mínimo común múltiplo (lcm) más grande de cualquier partición de n , o el número máximo de veces que una permutación de n elementos se puede aplicar recursivamente a sí mismo antes de que regrese a su secuencia inicial.
Por ejemplo, 5 = 2 + 3 y lcm (2,3) = 6. Ninguna otra partición de 5 produce un mcm mayor, por lo que g (5) = 6. Un elemento de orden 6 en el grupo S 5 se puede escribir en notación cíclica como (1 2) (3 4 5). Tenga en cuenta que el mismo argumento se aplica al número 6, es decir, g (6) = 6. Hay secuencias arbitrariamente largas de números consecutivos n , n + 1,…, n + m en las que la función g es constante. [1]
La secuencia entera g (0) = 1, g (1) = 1, g (2) = 2, g (3) = 3, g (4) = 4, g (5) = 6, g (6) = 6, g (7) = 12, g (8) = 15, ... (secuencia A000793 en la OEIS ) lleva el nombre de Edmund Landau , quien demostró en 1902 [2] que
(donde ln denota el logaritmo natural ).
La declaración de que
para todo n suficientemente grande , donde Li −1 denota la inversa de la función integral logarítmica , es equivalente a la hipótesis de Riemann .
Se puede demostrar que
con la única igualdad entre las funciones en n = 0, y de hecho
Notas
- ↑ Nicolas, Jean-Louis (1968), "Sur l'ordre maximum d'un élément dans le groupe S n des permutations", Acta Arithmetica (en francés), 14 : 315-332
- ^ Landau, págs. 92-103
- ↑ Jean-Pierre Massias, Majoration explicite de l'ordre maximum d'un élément du groupe symétrique, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (5) 6 (1984), núm. 3, 4, págs. 269-281 (1985).
Referencias
- E. Landau , "Über die Maximalordnung der Permutationen gegebenen Grades [En el orden máximo de permutaciones de un grado dado]", Arch. Matemáticas. Phys. Ser. 3, vol. 5, 1903.
- W. Miller, "El orden máximo de un elemento de un grupo simétrico finito", American Mathematical Monthly , vol. 94, 1987, págs. 497–506.
- J.-L. Nicolas, "Sobre la función de Landau g ( n )", en Las matemáticas de Paul Erdős , vol. 1, Springer-Verlag, 1997, págs. 228-240.