Este artículo se refiere a las pruebas que involucran al operador de Laplace-Beltrami .
Se afirma que −div es adjunto a d :
Prueba de la declaración anterior:
Si f tiene soporte compacto , entonces la última integral desaparece y tenemos el resultado deseado.
Se puede probar que el operador de Laplace-de Rham es equivalente a la definición del operador de Laplace-Beltrami, cuando actúa sobre una función escalar f . Esta prueba se lee como:
donde vol n ; es la forma de volumen y ε es el símbolo Levi-Civita completamente antisimétrico . Tenga en cuenta que en lo anterior, el índice i en minúsculas en cursiva es un índice único, mientras que la J mayúscula romana representa todos los índices n - 1 restantes . Observe que el operador de Laplace-de Rham es en realidad el operador negativo de Laplace-Beltrami; este signo menos se deriva de la definición convencional de las propiedades del codiferencial . Desafortunadamente, Δ se usa para denotar ambos; lector tenga cuidado.
Dadas las funciones escalares f y h , y un número real a , el laplaciano tiene la propiedad:
Prueba
donde f y h son funciones escalares.