En matemáticas , una forma de volumen en una variedad diferenciable es una forma de dimensión superior (es decir, una forma diferencial de grado superior). Así, en una variedad de dimensión , una forma de volumen es una -forma, una sección del paquete de líneas . Una variedad admite una forma de volumen que no desaparece en ninguna parte si y solo si es orientable. Una variedad orientable tiene infinitas formas de volumen, ya que al multiplicar una forma de volumen por una función se obtiene otra forma de volumen. En variedades no orientables, se puede definir en cambio la noción más débil de densidad .
Una forma de volumen proporciona un medio para definir la integral de una función en una variedad diferenciable. En otras palabras, una forma de volumen da lugar a una medida con respecto a la cual las funciones pueden ser integradas por la integral de Lebesgue apropiada . El valor absoluto de una forma de volumen es un elemento de volumen , que también se conoce como forma de volumen retorcido o forma de pseudovolumen . También define una medida, pero existe sobre cualquier variedad diferenciable, orientable o no.
Las variedades de Kähler , al ser variedades complejas , están orientadas naturalmente y, por lo tanto, poseen una forma de volumen. De manera más general, laEl poder exterior de la forma simpléctica en una variedad simpléctica es una forma de volumen. Muchas clases de variedades tienen formas de volumen canónicas: tienen una estructura adicional que permite la elección de una forma de volumen preferida. Las variedades pseudo-Riemannianas orientadas tienen una forma de volumen canónica asociada.
Orientación
Lo siguiente solo tratará sobre la orientabilidad de variedades diferenciables (es una noción más general definida en cualquier variedad topológica).
Una variedad es orientable si tiene un atlas de coordenadas cuyas funciones de transición tienen determinantes jacobianos positivos . Una selección de un atlas máximo de este tipo es una orientación sobre. Una forma de volumen en da lugar a una orientación de forma natural como el atlas de gráficos de coordenadas en que envían a un múltiplo positivo de la forma de volumen euclidiana .
Una forma de volumen también permite la especificación de una clase preferida de marcos en. Llamar a una base de vectores tangentes diestro si
El grupo actúa sobre la colección de todos los marcos para diestros de asignaciones lineales generales endimensiones con determinante positivo. Forman un directorsub-paquete del paquete de marco lineal de, por lo que la orientación asociada a una forma de volumen da una reducción canónica del paquete de cuadros de a un subpaquete con grupo de estructura . Es decir que una forma de volumen da lugar a-estructura en. Es claramente posible una mayor reducción considerando marcos que tienen
( 1 )
Así, una forma de volumen da lugar a una -estructura también. Por el contrario, dado un-estructura, se puede recuperar una forma de volumen imponiendo ( 1 ) para los marcos lineales especiales y luego resolviendo para el requerido-formulario al exigir homogeneidad en sus argumentos.
Un colector es orientable si y solo si tiene una forma de volumen. En efecto,es una deformación retraída ya que, donde los reales positivos están incrustados como matrices escalares. Así, cada-estructura es reducible a un -estructura, y -las estructuras coinciden con las orientaciones en . Más concretamente, la trivialidad del paquete determinantees equivalente a orientabilidad, y un paquete de líneas es trivial si y solo si tiene una sección que no desaparece en ninguna parte. Por tanto, la existencia de una forma volumétrica equivale a la orientabilidad.
Relación con las medidas
Dada una forma de volumen en un colector orientado, la densidad es una pseudo-forma de volumen en la variedad no orientada obtenida al olvidar la orientación. Las densidades también se pueden definir de manera más general en colectores no orientables.
Cualquier pseudo-forma de volumen (y por lo tanto también cualquier forma de volumen) define una medida en los conjuntos de Borel por
La diferencia es que, si bien una medida se puede integrar en un subconjunto (Borel) , una forma de volumen solo se puede integrar en una celda orientada . En cálculo de una sola variable , la escritura considera como una forma de volumen, no simplemente una medida, y indica "integrar sobre la celda con la orientación opuesta, a veces denotada ".
Además, las medidas generales no necesitan ser continuas o uniformes: no necesitan definirse por una forma de volumen, o más formalmente, su derivada Radon-Nikodym con respecto a una forma de volumen dada no necesita ser absolutamente continua .
Divergencia
Dada una forma de volumen ω en M , se puede definir la divergencia de un campo vectorial X como la función escalar única, denotada por div X , satisfaciendo
donde L X denota la derivada de Lie a lo largo de X ydenota el producto interior o la izquierda contracción de ω a lo largo de X . Si X es un campo vectorial con soporte compacto y M es una variedad con límite , entonces el teorema de Stokes implica
que es una generalización del teorema de divergencia .
Los campos del vector solenoide son aquellos con div X = 0 . De la definición de la derivada de Lie se deduce que la forma del volumen se conserva bajo el flujo de un campo vectorial solenoidal. Por tanto, los campos vectoriales solenoidales son precisamente aquellos que tienen flujos que conservan el volumen. Este hecho es bien conocido, por ejemplo, en mecánica de fluidos, donde la divergencia de un campo de velocidad mide la compresibilidad de un fluido, que a su vez representa la medida en que se conserva el volumen a lo largo de los flujos del fluido.
Casos especiales
Grupos de mentiras
Para cualquier grupo de Lie , una forma de volumen natural puede definirse mediante traducción. Es decir, si ω e es un elemento de, entonces una forma invariante a la izquierda puede ser definida por , donde L g es traslación a la izquierda. Como corolario, cada grupo de Lie es orientable. Esta forma de volumen es única hasta un escalar, y la medida correspondiente se conoce como medida de Haar .
Variedades simplécticas
Cualquier variedad simpléctica (o de hecho cualquier variedad casi simpléctica ) tiene una forma de volumen natural. Si M es un 2 n colector -dimensional con forma simpléctico ω , entonces ω n es en absoluto cero como consecuencia de la nondegeneracy de la forma simpléctica. Como corolario, cualquier variedad simpléctica es orientable (de hecho, orientada). Si la variedad es simpléctica y riemanniana, entonces las dos formas de volumen concuerdan si la variedad es Kähler .
Forma de volumen de Riemann
Cualquier variedad pseudo-riemanniana orientada (incluida la riemanniana ) tiene una forma de volumen natural. En coordenadas locales , se puede expresar como
donde el son 1-formas que forman una base orientada positivamente para el haz cotangente de la variedad. Aquí,es el valor absoluto del determinante de la representación matricial del tensor métrico en la variedad.
La forma de volumen se denota de diversas formas por
Aquí el es la estrella de Hodge , por lo tanto, la última forma,, enfatiza que la forma del volumen es el dual de Hodge del mapa constante en la variedad, que es igual al tensor ε de Levi-Civita .
Aunque la letra griega ω se usa con frecuencia para denotar la forma del volumen, esta notación no es universal; el símbolo ω a menudo tiene muchos otros significados en geometría diferencial (como una forma simpléctica).
Invariantes de forma volumétrica
Las formas de volumen no son únicas; forman un torsor sobre funciones que no desaparecen en la variedad, como sigue. Dada una función f que no desaparece en M , y una forma de volumen, es una forma de volumen en M . Por el contrario, dadas dos formas de volumen, su razón es una función que no desaparece (positiva si definen la misma orientación, negativa si definen orientaciones opuestas).
En coordenadas, ambas son simplemente una función distinta de cero multiplicada por la medida de Lebesgue , y su razón es la razón de las funciones, que es independiente de la elección de coordenadas. Intrínsecamente, es la derivada Radon-Nikodym de con respecto a . En una variedad orientada, la proporcionalidad de cualesquiera dos formas de volumen se puede considerar como una forma geométrica del teorema de Radon-Nikodym .
Sin estructura local
Una forma de volumen en una variedad no tiene estructura local en el sentido de que no es posible en pequeños conjuntos abiertos distinguir entre la forma de volumen dada y la forma de volumen en el espacio euclidiano ( Kobayashi 1972 ). Es decir, para cada punto p en M , hay una vecindad abierta U de p y un difeomorfismo φ de U sobre un conjunto abierto en R n tal que la forma de volumen en U es el retroceso dea lo largo de φ .
Como corolario, si M y N son dos variedades, cada una con formas de volumen, luego para cualquier punto , Hay entornos abiertos U de m y V de n y un mapade modo que la forma de volumen en N restringida a la vecindad V retrocede a la forma de volumen en M restringida a la vecindad U :.
En una dimensión, se puede demostrar así: dada una forma de volumen en , definir
Entonces la medida estándar de Lebesgue retrocede abajo f :. Concretamente,. En dimensiones superiores, dado cualquier punto, tiene un barrio localmente homeomorfo para , y se puede aplicar el mismo procedimiento.
Estructura global: volumen
Una forma de volumen en una variedad conectada M tiene un único invariante global, a saber, el volumen (total) (denotado), que es invariante en mapas de preservación de forma de volumen; esto puede ser infinito, como para la medida de Lebesgue en. En un colector desconectado, el volumen de cada componente conectado es el invariante.
En símbolos, si es un homeomorfismo de variedades que retrocede a , luego
y los colectores tienen el mismo volumen.
Las formas de volumen también se pueden retirar debajo de los mapas de cobertura , en cuyo caso multiplican el volumen por la cardinalidad de la fibra (formalmente, por integración a lo largo de la fibra). En el caso de una cubierta de láminas infinitas (como), una forma de volumen en un colector de volumen finito retrocede a una forma de volumen en un colector de volumen infinito.
Ver también
- Sistema de coordenadas cilíndrico § Elementos de línea y volumen
- Medir (matemáticas)
- La métrica de Poincaré proporciona una revisión de la forma del volumen en el plano complejo.
- Sistema de coordenadas esféricas § Integración y diferenciación en coordenadas esféricas
Referencias
- Kobayashi, S. (1972), Grupos de transformación en geometría diferencial , Clásicos en matemáticas, Springer, ISBN 3-540-58659-8, OCLC 31374337.
- Spivak, Michael (1965), Cálculo de colectores , Reading, Massachusetts: WA Benjamin, Inc., ISBN 0-8053-9021-9.