La constante de Legendre es una constante matemática que ocurre en una fórmula conjeturada por Adrien-Marie Legendre para capturar el comportamiento asintótico de la función de conteo de primos. . Ahora se sabe que su valor es 1 .
El examen de la evidencia numérica disponible para los números primos conocidos llevó a Legendre a sospechar que satisface una fórmula aproximada.
Legendre conjeturó en 1808 que
O de manera similar,
donde B es la constante de Legendre. Supuso B en alrededor de 1,08366, pero independientemente de su valor exacto, la existencia de B implica el teorema del número primo .
Pafnuty Chebyshev demostró en 1849 [2] que si el límite B existe, debe ser igual a 1. Pintz dio una prueba más fácil en 1980. [3]
Es una consecuencia inmediata del teorema de los números primos , bajo la forma precisa con una estimación explícita del término de error
(para alguna constante positiva a , donde O (…) es la notación O grande ), como lo demostró en 1899 Charles de La Vallée Poussin , [4] que B de hecho es igual a 1. (El teorema de los números primos se había demostrado en 1896, independientemente por Jacques Hadamard [5] y La Vallée Poussin, [6] pero sin ninguna estimación del término de error involucrado).
Al ser evaluado con un número tan simple, el término constante de Legendre tiene principalmente un valor histórico, y a menudo (técnicamente incorrectamente) se usa para referirse a la primera suposición de Legendre 1.08366 ... en su lugar.
Pierre Dusart demostró en 2010
- por , y
- por . [7] Tiene la misma forma que
- con .
Referencias
- ^ Ribenboim, Paulo (2004). El pequeño libro de las primas más grandes . Nueva York: Springer-Verlag. pag. 188. ISBN 0-387-20169-6.
- ^ Edmund Landau . Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, página 17. Tercera edición (corregida), dos volúmenes en uno, 1974, Chelsea 1974
- ^ J. Pintz. Sobre la fórmula de números primos de Legendre. Amer. Matemáticas. Mensual 87 (1980), 733-735.
- ↑ La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique 59, 1-74, 1899
- ^ Sur la distribution des zéros de la fonctionet ses conséquences arithmétiques , Bulletin de la Société Mathématique de France, vol. 24, 1896, págs. 199–220 Online Archivado el 17 de julio de 2012 en la Wayback Machine.
- ^ «Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers», Annales de la société scientifique de Bruxelles, vol. 20, 1896, pág. 183-256 y 281-361
- ^ Dusart, Pierre (2010). "Estimaciones de algunas funciones sobre primos sin HR". arXiv : 1002.0442 [ matemáticas.NT ].