Graham era la hija mayor de Robert y Mary Graham (de soltera Hill). Su madre era propietaria de la finca Gairbraid (ahora el área de Glasgow conocida como Maryhill ), que heredó de su padre, Hew Hill. Lilias tenía un hermano, una hermana menor llamada Janet, que se casó con el comerciante de Greenock, Alexander Dunlop. Su hijo, John Dunlop, heredó la propiedad de Gairbraid tras la muerte de su tía en 1836.
Se le atribuye haber ayudado a formar el primer movimiento de templanza en Escocia junto con su sobrino John Dunlop y su compañera Betsy Allan. Dunlop se inspiró para establecer sociedades británicas de templanza en Greenock y Maryhill en 1829 después de darse cuenta de las diferencias entre Escocia y otras partes de Europa en cuanto a las actitudes hacia el alcohol. Alejandro Thomson escribió:
"En una reciente visita a Francia, el señor Dunlop quedó impresionado por la sobriedad que parecía prevalecer allí entre todas las clases; y no pudo evitar contrastar este estado de cosas con las dolorosas escenas que se pueden presenciar a diario entre sus propios compatriotas". [2]
A pesar de enfrentar la hostilidad inicial y el ridículo, Dunlop persistió en difundir el mensaje de abstinencia del alcohol en toda Escocia y formó la primera sociedad de templanza de Gran Bretaña en Gairbraid el 1 de octubre de 1829. En el momento de la formación de la Sociedad, Maryhill tenía una población total de aproximadamente 1300 y albergaba 23 'viviendas con licencia': una por cada 57 vecinos de la zona. [3]