polinomio linealizado

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En matemáticas , un polinomio linealizado (o polinomio q ) es un polinomio para el cual los exponentes de todos los monomios constituyentes son potencias de q y los coeficientes provienen de algún campo de extensión del campo finito de orden q .

donde cada uno está en algún número entero positivo fijo . ${\ estilo de visualización a_ {i}}$${\displaystyle F_{q^{m}}(=\nombre del operador {GF} (q^{m}))}$ ${\ estilo de visualización m}$

Esta clase especial de polinomios es importante tanto desde el punto de vista teórico como de las aplicaciones. ^[1] La naturaleza altamente estructurada de sus raíces hace que estas raíces sean fáciles de determinar.

En general, el producto de dos polinomios linealizados no será un polinomio linealizado, pero dado que la composición de dos polinomios linealizados da como resultado un polinomio linealizado, la composición puede usarse como reemplazo de la multiplicación y, por esta razón, la composición a menudo se denomina simbólica . multiplicación en este escenario. Notacionalmente, si L ₁ ( x ) y L ₂ ( x ) son polinomios linealizados definimos

son asociados q (nota: los exponentes " q ⁱ " de L ( x ) han sido reemplazados por " i " en l ( x )). Más específicamente, l ( x ) se denomina asociado q convencional de L ( x ), y L ( x ) es el asociado q linealizado de l ( x ).

Los polinomios linealizados con coeficientes en F _q tienen propiedades adicionales que permiten definir la división simbólica, la reducibilidad simbólica y la factorización simbólica. Dos ejemplos importantes de este tipo de polinomio linealizado son el automorfismo de Frobenius y la función de traza${\displaystyle x\mapsto x^{q}}$${\displaystyle \operatorname {Tr} (x)=\sum _{i=0}^{n-1}x^{q^{i}}.}$

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