Desigualdad de suma logarítmica

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Sean y sean números no negativos. Denote la suma de todos los s por y la suma de todos los s por . La desigualdad de suma logarítmica establece que${\ Displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}$${\ Displaystyle b_ {1}, \ ldots, b_ {n}}$${\ Displaystyle a_ {i}}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b_ {i}}$${\ Displaystyle b}$

con igualdad si y solo si son iguales para todos , es decir, para todos . ^[1]${\ Displaystyle {\ frac {a_ {i}} {b_ {i}}}}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle a_ {i} = cb_ {i}}$${\ Displaystyle i}$

(Tómese como si y si . Estos son los valores límite obtenidos según tiende el número relevante ). ^[1]${\ Displaystyle a_ {i} \ log {\ frac {a_ {i}} {b_ {i}}}}$${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle a_ {i} = 0}$${\ Displaystyle \ infty}$${\ Displaystyle a_ {i}> 0, b_ {i} = 0}$${\ displaystyle 0}$

Tenga en cuenta que después de configurar tenemos${\ Displaystyle f (x) = x \ log x}$

donde la desigualdad se deduce de la desigualdad de Jensen ya , y es convexa. ^[1]${\ Displaystyle {\ frac {b_ {i}} {b}} \ geq 0}$${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {b_ {i}} {b}} = 1}$${\ Displaystyle f}$

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