el teorema de Lucas

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En teoría de números , el teorema de Lucas expresa el resto de la división del coeficiente binomial por un número primo p en términos de las expansiones en base p de los enteros m y n .${\displaystyle {\tbinom{m}{n}}}$

son las expansiones en base p de m y n respectivamente. Esto usa la convención de que si m  <  n .${\displaystyle {\tbinom{m}{n}}=0}$

Sea M un conjunto con m elementos, y divídalo en m _i ciclos de longitud p ⁱ para los distintos valores de i . Luego, cada uno de estos ciclos puede girarse por separado, de modo que un grupo G , que es el producto cartesiano de los grupos cíclicos C _{pi ^,} actúa sobre M . Por lo tanto, también actúa sobre los subconjuntos N de tamaño n . Dado que el número de elementos en G es una potencia de p , lo mismo es cierto para cualquiera de sus órbitas. Así, para calcular el módulo p${\displaystyle {\tbinom{m}{n}}}$, solo necesitamos considerar puntos fijos de esta acción grupal. Los puntos fijos son aquellos subconjuntos N que son unión de alguno de los ciclos. Más precisamente, se puede mostrar por inducción sobre k - i , que N debe tener exactamente n _i ciclos de tamaño p ⁱ . Por lo tanto, el número de opciones para N es exactamente .${\displaystyle \prod _{i=0}^{k}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}{\pmod {p}}}$

Si p es un número primo y n es un número entero con 1 ≤ n ≤ p − 1, entonces el numerador del coeficiente binomial

es divisible por p pero el denominador no lo es. Por lo tanto , p divide . En términos de funciones generadoras ordinarias, esto significa que${\displaystyle {\tbinom {p}{n}}}$

Ahora sea m un número entero no negativo y sea p un número primo. Escribe m en base p , de modo que para algún entero no negativo k y enteros m _i con 0 ≤ m _i ≤ p -1. Entonces${\displaystyle m=\sum _{i=0}^{k}m_{i}p^{i}}$

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