Estudió composición con Edwin Roxburgh y Simon Bainbridge en el Royal College of Music , y ganó la Beca Mendelssohn en 2000. A esto le siguieron estudios de posgrado con Simon Bainbridge en la Royal Academy of Music . En 2007, Bedford firmó con Universal Edition London.
Los premios incluyen el Premio de Composición de la Royal Philharmonic Society de 2000 para compositores menores de 29 años y el Premio de Oyentes de BBC Radio 3 de 2004 en los British Composer Awards . En 2007, Bedford se convirtió en el primer ganador por composición de un premio Paul Hamlyn Artists' Award desde David Sawer en 1993. En 2007 también recibió una nominación para el premio de composición a gran escala de la Royal Philharmonic Society , por su ciclo de canciones On Voit Tout En Aventure . En 2008, Bedford recibió su segundo premio de compositor británico por su obra orquestal de 2007 Wreathe . En 2012, fue galardonado con el Premio de Compositores Ernst von Siemens .
En 2015, su obra para gran orquesta, Inestabilidad, se estrenó en los Proms, y en octubre de 2017 se estrenó su Concierto para cuarteto de saxofones y orquesta en la Filarmónica de Berlín.
Bedford ha escrito dos óperas, Seven Angels con el libretista Glyn Maxwell y Through His Teeth con David Harrower. Ambos han recibido múltiples actuaciones tanto en el Reino Unido como en Alemania. En 2018, Bastille Musique lanzó una grabación de estudio de Through His Teeth, interpretada por Opera Factory Freiburg.