Teorema de lusin

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En el campo matemático del análisis real , el teorema de Lusin (o el teorema de Luzin , llamado así por Nikolai Luzin ) o el criterio de Lusin establece que una función finita en casi todas partes es medible si y solo si es una función continua en casi todo su dominio. En la formulación informal de JE Littlewood , "toda función mensurable es casi continua".

ser una función medible. Entonces, para todo ε  > 0, existe un compacto E  ⊆ [ a ,  b ] tal que f restringido a E es continuo y

Tenga en cuenta que E hereda la topología del subespacio de [ a ,  b ]; la continuidad de f restringida a E se define utilizando esta topología.

También para cualquier función f , definida en el intervalo [ a, b ] y casi en todas partes finito, si para cualquier ε> 0 hay una función ϕ , continua en [ a, b ], tal que la medida del conjunto

Sea un espacio de medida de Radon e Y sea ​​un segundo espacio topológico contable equipado con un álgebra de Borel , y sea${\ Displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$

ser una función medible. Dado , para cada medida finita hay un conjunto cerrado con tal que restringido a es continuo. Si es localmente compacto , podemos optar por ser compacto e incluso encontrar una función continua con soporte compacto que coincida con on y tal que .${\ Displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle A \ in \ Sigma}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle \ mu (A \ setminus E) <\ varepsilon}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle E}$${\ displaystyle f _ {\ varepsilon}: X \ rightarrow Y}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle \ \ sup _ {x \ in X} | f _ {\ varepsilon} (x) | \ leq \ sup _ {x \ in X} | f (x) |}$

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