Los tres principios del análisis real de Littlewood son heurísticas de JE Littlewood para ayudar a enseñar los fundamentos de la teoría de la medida en el análisis matemático .
Hay tres principios, que pueden expresarse aproximadamente en los siguientes términos: cada conjunto ( medible ) es casi una suma finita de intervalos; cada función (de clase L p ) es casi continua ; toda secuencia convergente de funciones es casi uniformemente convergente .
El primer principio se basa en el hecho de que la medida interior y la medida exterior son iguales para conjuntos medibles, el segundo se basa en el teorema de Lusin y el tercero se basa en el teorema de Egorov .
Los tres principios de Littlewood se citan en varios textos de análisis reales, por ejemplo, Royden, [2] Bressoud, [3] y Stein & Shakarchi. [4]
Royden [5] da el teorema de convergencia acotada como una aplicación del tercer principio. El teorema establece que si una secuencia uniformemente acotada de funciones converge puntualmente, entonces sus integrales en un conjunto de medida finita convergen a la integral de la función límite. Si la convergencia fuera uniforme, este sería un resultado trivial, y el tercer principio de Littlewood nos dice que la convergencia es casi uniforme, es decir, uniforme fuera de un conjunto de medidas arbitrariamente pequeñas. Como la secuencia está acotada, la contribución a las integrales del conjunto pequeño puede hacerse arbitrariamente pequeña y las integrales del resto convergen porque las funciones convergen uniformemente allí.