En la teoría de las colas , una disciplina dentro de la teoría matemática de la probabilidad , una cola M / D / c representa la longitud de la cola en un sistema que tiene c servidores, donde las llegadas están determinadas por un proceso de Poisson y los tiempos de servicio del trabajo son fijos (deterministas). El nombre del modelo está escrito en la notación de Kendall . [1] Agner Krarup Erlang publicó por primera vez este modelo en 1909, iniciando el tema de la teoría de las colas . [2] [3] El modelo es una extensión de la cola M / D / 1 que tiene un solo servidor.
Definición de modelo
Una cola M / D / c es un proceso estocástico cuyo espacio de estado es el conjunto {0,1,2,3, ...} donde el valor corresponde al número de clientes en el sistema, incluyendo cualquiera que esté actualmente en servicio.
- Las llegadas ocurren a una tasa λ según un proceso de Poisson y mueven el proceso del estado i al i + 1.
- Los tiempos de servicio son el tiempo determinista D (sirviendo a una tasa μ = 1 / D ).
- Los servidores c atienden a los clientes desde el principio de la cola, de acuerdo con una disciplina de orden de llegada . Cuando se completa el servicio, el cliente abandona la cola y el número de clientes en el sistema se reduce en uno.
- El búfer es de tamaño infinito, por lo que no hay límite en la cantidad de clientes que puede contener.
Distribución del tiempo de espera
Erlang mostró que cuando ρ = ( λ D ) / c <1, la distribución del tiempo de espera tiene una distribución F ( y ) dada por [4]
Crommelin mostró que, escribiendo P n para la probabilidad estacionaria de un sistema con n o menos clientes, [5]
Referencias
- ^ Kendall, DG (1953). "Procesos estocásticos que ocurren en la teoría de las colas y su análisis por el método de la cadena de Markov incrustada" . Los Anales de Estadística Matemática . 24 (3): 338–354. doi : 10.1214 / aoms / 1177728975 . JSTOR 2236285 .
- ^ Kingman, JFC (2009). "El primer siglo de Erlang y el siguiente". Sistemas de colas . 63 (1–4): 3–4. doi : 10.1007 / s11134-009-9147-4 .
- ^ "La teoría de probabilidades y conversaciones telefónicas" (PDF) . NYT Tidsskrift para Matematik B . 20 : 33–39. 1909. Archivado desde el original (PDF) el 7 de febrero de 2012.
- ^ Franx, GJ (2001). "Una solución sencilla para la distribución del tiempo de espera M / D / c". Cartas de investigación operativa . 29 (5): 221-229. doi : 10.1016 / S0167-6377 (01) 00108-0 .
- ^ Crommelin, CD (1932). "Fórmulas de probabilidad de retardo cuando los tiempos de espera son constantes". PO Electr. Ing. J . 25 : 41–50.