Eliasson se convirtió en profesional en 1997. Jugó en el Challenge Tour de segunda división de 1998 a 2004, con tres subcampeonatos, en 1998, 1999 y 2004. Durante este período también tuvo éxito en la escuela de clasificación en tres ocasiones, lo que permitió él para jugar eventos limitados en el principal Tour Europeo en 2000, 2002 y 2003.
En 2004, Eliasson terminó en el undécimo lugar en la clasificación del Challenge Tour, lo que le dio un ascenso completo al European Tour. Continuó jugando a ese nivel durante tres temporadas, de 2005 a 2007.
Sin embargo, luego sufrió una caída en la forma y ha jugado solo esporádicamente en cualquiera de las dos giras desde 2008. [1] No obstante, ha registrado tres victorias en la Liga Nórdica de tercer nivel en ese tiempo. [2]
El mejor resultado de Eliasson en el Tour Europeo fue un tercer puesto en el Open de España 2006 . 2006 también fue su mejor temporada al más alto nivel, ya que terminó en el puesto 75 en la Orden del Mérito, con cinco resultados entre los diez primeros en sus primeros siete torneos.