Hijo de un violinista, Saury comenzó a tocar el violín a la edad de doce años. Cambió al clarinete porque admiraba la forma de tocar de Hubert Rostaing . Poco después de la Segunda Guerra Mundial, comenzó a tocar con Christian Azzi y Claude Bolling y dirigió brevemente un trío en 1949. En la década de 1950 fundó New Orleans Sound, que incluía a Jean-Claude Naude , y realizó varias giras por todo el mundo. Tocó con Barney Bigard en los EE. UU. a fines de la década de 1960 y regresó a los EE. UU. dos veces en la década de 1970. Como figura representativa del jazz tradicional francés, fue invitado con frecuencia a tocar música, o a desempeñar el papel de músico, en cine y televisión, incluso en Bonjour Tristesse , Les Tricheurs, Mon tío , y Adieu Philippine .