Teorema de Miller

El teorema de Miller se refiere al proceso de creación de circuitos equivalentes . Afirma que un elemento de impedancia flotante, alimentado por dos fuentes de tensión conectadas en serie, puede dividirse en dos elementos puestos a tierra con las impedancias correspondientes. También hay un teorema de Miller dual con respecto a la impedancia suministrada por dos fuentes de corriente conectadas en paralelo. Las dos versiones se basan en las dos leyes de circuito de Kirchhoff .

Los teoremas de Miller no son solo expresiones matemáticas puras. Estos arreglos explican fenómenos de circuitos importantes sobre la modificación de la impedancia ( efecto Miller , tierra virtual , bootstrapping , impedancia negativa , etc.) y ayudan a diseñar y comprender varios circuitos comunes (amplificadores de retroalimentación, convertidores resistivos y dependientes del tiempo, convertidores de impedancia negativa, etc.) ). Los teoremas son útiles en el "análisis de circuitos", especialmente para analizar circuitos con retroalimentación ^[1] y ciertos amplificadores de transistores a altas frecuencias. ^[2]

Existe una estrecha relación entre el teorema de Miller y el efecto de Miller: el teorema puede considerarse como una generalización del efecto y el efecto puede considerarse como un caso especial del teorema.

Teorema de Miller (para voltajes)

Definición

El teorema de Miller establece que en un circuito lineal, si existe una rama con impedancia ${\displaystyle Z}$, conectando dos nodos con voltajes nodales ${\displaystyle V_{1}}$ y ${\displaystyle V_{2}}$, podemos reemplazar esta rama por dos ramas que conectan los nodos correspondientes a tierra por impedancias respectivamente ${\displaystyle {\frac {Z}{1-K}}}$ y ${\displaystyle {\frac {KZ}{K-1}}}$, donde ${\displaystyle K={\frac {V_{2}}{V_{1}}}}$. El teorema de Miller puede demostrarse utilizando la técnica de red de dos puertos equivalente para reemplazar el de dos puertos por su equivalente y aplicando el teorema de absorción de fuente. ^[3] Esta versión del teorema de Miller se basa en la ley de voltaje de Kirchhoff ; por esa razón, también se denomina teorema de Miller para voltajes .

Explicación

Un esquema sobre el teorema de Miller

El teorema de Miller implica que un elemento de impedancia es suministrado por dos fuentes de voltaje arbitrarias (no necesariamente dependientes) que están conectadas en serie a través de la tierra común. En la práctica, uno de ellos actúa como fuente de voltaje principal (independiente) con voltaje${\displaystyle V_{1}}$ y el otro - como una fuente de voltaje adicional (linealmente dependiente) con voltaje ${\displaystyle V_{2}=K{V_{1}}}$. La idea del teorema de Miller (modificar las impedancias del circuito vistas desde los lados de las fuentes de entrada y salida) se revela a continuación al comparar las dos situaciones: sin y con la conexión de una fuente de voltaje adicional.${\displaystyle V_{2}}$.

Si ${\displaystyle V_{2}}$ eran cero (no había una segunda fuente de voltaje o el extremo derecho del elemento con impedancia ${\displaystyle Z}$ solo estaba conectado a tierra), la corriente de entrada que fluye a través del elemento se determinaría, de acuerdo con la ley de Ohm, solo por ${\displaystyle V_{1}}$

${\displaystyle I_{in0}={\frac {V_{1}}{Z}}}$

y la impedancia de entrada del circuito sería

${\displaystyle Z_{in0}={\frac {V_{1}}{I_{in0}}}=Z.}$

Como se incluye una segunda fuente de voltaje, la corriente de entrada depende de ambos voltajes. Según su polaridad,${\displaystyle V_{2}}$ se resta o se suma a ${\displaystyle V_{1}}$; entonces, la corriente de entrada disminuye / aumenta

${\displaystyle I_{in}={\frac {V_{1}-V_{2}}{Z}}={\frac {(1-K)}{Z}}{V_{1}}={(1-K)}{I_{in0}}}$

y la impedancia de entrada del circuito visto desde el lado de la fuente de entrada aumenta / disminuye en consecuencia

${\displaystyle Z_{in}={\frac {V_{1}}{I_{in}}}={\frac {Z}{1-K}}.}$

Entonces, el teorema de Miller expresa el hecho de que conectar una segunda fuente de voltaje con voltaje proporcional${\displaystyle V_{2}=K{V_{1}}}$en serie con la fuente de voltaje de entrada cambia el voltaje efectivo, la corriente y, respectivamente, la impedancia del circuito vista desde el lado de la fuente de entrada . Dependiendo de la polaridad,${\displaystyle V_{2}}$ actúa como una fuente de voltaje suplementaria que ayuda o se opone a la fuente de voltaje principal para hacer pasar la corriente a través de la impedancia.

Además de presentar la combinación de las dos fuentes de voltaje como una nueva fuente de voltaje compuesta, el teorema puede explicarse combinando el elemento real y la segunda fuente de voltaje en un nuevo elemento virtual con impedancia modificada dinámicamente . Desde este punto de vista,${\displaystyle V_{2}}$ es un voltaje adicional que aumenta / disminuye artificialmente la caída de voltaje ${\displaystyle V_{z}}$ a través de la impedancia ${\displaystyle Z}$disminuyendo / aumentando así la corriente. La proporción entre los voltajes determina el valor de la impedancia obtenida (ver las tablas a continuación) y da en total seis grupos de aplicaciones típicas .

Restando ${\displaystyle V_{2}}$ desde ${\displaystyle V_{1}}$

${\displaystyle V_{2}}$ vs ${\displaystyle V_{1}}$	${\displaystyle V_{2}=0}$	${\displaystyle 0<V_{2}<V_{1}}$	${\displaystyle V_{2}=V_{1}}$	${\displaystyle V_{2}>V_{1}}$
Impedancia	normal	aumentado	infinito	negativo con inversión de corriente

Añadiendo ${\displaystyle V_{2}}$ para ${\displaystyle V_{1}}$

${\displaystyle V_{2}}$ vs ${\displaystyle V_{z}}$	${\displaystyle V_{2}=0}$	${\displaystyle 0<V_{2}<V_{z}}$	${\displaystyle V_{2}=V_{z}}$	${\displaystyle V_{2}>V_{z}}$
Impedancia	normal	disminuido	cero	negativo con inversión de voltaje

La impedancia del circuito, vista desde el lado de la fuente de salida, puede definirse de manera similar, si los voltajes ${\displaystyle V_{1}}$ y ${\displaystyle V_{2}}$ se intercambian y el coeficiente ${\displaystyle K}$ es reemplazado por ${\displaystyle {\frac {1}{K}}}$

${\displaystyle Z_{in2}={\frac {{K}{Z}}{K-1}}.}$

Implementación

Una implementación típica del teorema de Miller basada en un amplificador de voltaje de un solo extremo

Con mayor frecuencia, el teorema de Miller puede observarse e implementarse mediante una disposición que consta de un elemento con impedancia ${\displaystyle Z}$conectado entre los dos terminales de una red lineal general con conexión a tierra. ^[2] Por lo general, un amplificador de voltaje con ganancia de${\displaystyle A_{V}=K}$sirve como una red lineal, pero también otros dispositivos pueden desempeñar este papel: un hombre y un potenciómetro en un medidor potenciométrico de balance nulo , un integrador electromecánico (servomecanismos que utilizan sensores de retroalimentación potenciométrica), etc.

En la implementación del amplificador, el voltaje de entrada ${\displaystyle V_{i}}$ sirve como ${\displaystyle V_{1}}$ y el voltaje de salida ${\displaystyle V_{o}}$ como ${\displaystyle V_{2}}$. En muchos casos, la fuente de voltaje de entrada tiene cierta impedancia interna.${\displaystyle Z_{int}}$ o se conecta una impedancia de entrada adicional que, en combinación con ${\displaystyle Z}$, introduce una retroalimentación. Dependiendo del tipo de amplificador (no inversor, inversor o diferencial), la retroalimentación puede ser positiva, negativa o mixta.

La disposición del amplificador Miller tiene dos aspectos:

• el amplificador puede pensarse como una fuente de voltaje adicional que convierte la impedancia real en una impedancia virtual (el amplificador modifica la impedancia del elemento real)
• la impedancia virtual puede pensarse como un elemento conectado en paralelo a la entrada del amplificador (la impedancia virtual modifica la impedancia de entrada del amplificador).

Aplicaciones

La introducción de una impedancia que conecta los puertos de entrada y salida del amplificador agrega una gran complejidad al proceso de análisis. El teorema de Miller ayuda a reducir la complejidad en algunos circuitos, particularmente con retroalimentación ^[2], convirtiéndolos en circuitos equivalentes más simples. Pero el teorema de Miller no es solo una herramienta eficaz para crear circuitos equivalentes; También es una herramienta poderosa para diseñar y comprender circuitos basados ​​en modificar la impedancia por voltaje adicional . Dependiendo de la polaridad del voltaje de salida versus el voltaje de entrada y la proporción entre sus magnitudes, hay seis grupos de situaciones típicas. En algunos de ellos, el fenómeno Miller aparece como deseado ( bootstrapping ) o no deseado ( efecto Miller) efectos no intencionales; en otros casos, se introduce intencionadamente.

Aplicaciones basadas en restar ${\displaystyle V_{2}}$ desde ${\displaystyle V_{1}}$

En estas aplicaciones, el voltaje de salida ${\displaystyle V_{o}}$ se inserta con una polaridad opuesta con respecto a la tensión de entrada ${\displaystyle V_{i}}$viajando a lo largo del bucle (pero con respecto a tierra, las polaridades son las mismas). Como resultado, el voltaje efectivo y la corriente a través de la impedancia disminuyen; la impedancia de entrada aumenta.

La impedancia aumentada se implementa mediante un amplificador no inversor con ganancia de${\displaystyle 0<A_{v}<1}$. La (magnitud de) voltaje de salida es menor que el voltaje de entrada${\displaystyle V_{i}}$y lo neutraliza parcialmente. Algunos ejemplos son los seguidores de voltaje imperfectos ( emisor , fuente , seguidor de cátodo , etc.) y los amplificadores con retroalimentación negativa en serie ( degeneración del emisor ), cuya impedancia de entrada aumenta moderadamente.

El amplificador no inversor del amplificador operacional es un circuito típico con retroalimentación negativa en serie basada en el teorema de Miller, donde la impedancia de entrada diferencial del amplificador operacional aparentemente aumenta hasta el infinito

La impedancia infinita utiliza un amplificador no inversor con${\displaystyle A_{v}=1}$. El voltaje de salida es igual al voltaje de entrada${\displaystyle V_{i}}$y lo neutraliza por completo. Algunos ejemplos son los medidores potenciométricos de balance nulo y los seguidores y amplificadores de amplificador operacional con retroalimentación negativa en serie ( seguidor de amplificador operacional y amplificador no inversor ) donde la impedancia de entrada del circuito aumenta enormemente. Esta técnica se conoce como bootstrapping y se usa intencionalmente en circuitos de polarización, circuitos de protección de entrada, ^[4] etc.

La impedancia negativa obtenida por inversión de corriente se implementa mediante un amplificador no inversor con${\displaystyle A_{v}>1}$. La corriente cambia de dirección, ya que el voltaje de salida es más alto que el voltaje de entrada. Si la fuente de voltaje de entrada tiene alguna impedancia interna${\displaystyle Z_{int}}$o si está conectado a través de otro elemento de impedancia, aparece una retroalimentación positiva. Una aplicación típica es el convertidor de impedancia negativa con inversión de corriente (INIC) que utiliza retroalimentación tanto negativa como positiva (la retroalimentación negativa se usa para realizar un amplificador no inversor y la retroalimentación positiva - para modificar la impedancia).

Aplicaciones basadas en agregar ${\displaystyle V_{2}}$ para ${\displaystyle V_{1}}$

En estas aplicaciones, el voltaje de salida ${\displaystyle V_{o}}$ se inserta con la misma polaridad con respecto a la tensión de entrada ${\displaystyle V_{i}}$viajando a lo largo del bucle (pero con respecto a tierra, las polaridades son opuestas). Como resultado, el voltaje efectivo a través y la corriente a través de la impedancia aumentan; la impedancia de entrada disminuye.

La impedancia disminuida se implementa mediante un amplificador inversor que tiene una ganancia moderada, generalmente${\displaystyle 10<A_{v}<1000}$. Se puede observar como un indeseado efecto Miller en emisor común , común-fuente y de cátodo común etapas amplificadoras que se aumenta la capacidad de entrada efectiva. La compensación de frecuencia para amplificadores operacionales de propósito general y el integrador de transistores Miller son ejemplos del uso útil del efecto Miller.

El amplificador inversor del amplificador operacional es un circuito típico, con retroalimentación negativa paralela, basado en el teorema de Miller, donde la impedancia de entrada diferencial del amplificador operacional aparentemente disminuye hasta cero

La impedancia cero utiliza un amplificador inversor (generalmente amplificador operacional) con una ganancia enormemente alta${\displaystyle A_{v}\to \infty }$. El voltaje de salida es casi igual a la caída de voltaje.${\displaystyle V_{z}}$a través de la impedancia y la neutraliza completamente. El circuito se comporta como una conexión corta y aparece una tierra virtual en la entrada; por lo tanto, no debe funcionar con una fuente de voltaje constante. Para este propósito, algunos circuitos son impulsados ​​por una fuente de corriente constante o por una fuente de voltaje real con impedancia interna: convertidor de corriente a voltaje (amplificador de transimpedancia), integrador capacitivo (llamado también integrador de corriente o amplificador de carga ), resistencia a convertidor de voltaje (un sensor resistivo conectado en el lugar de la impedancia${\displaystyle Z}$).

El resto tienen impedancia adicional conectada en serie a la entrada: convertidor voltaje-corriente (amplificador de transconductancia), amplificador inversor , amplificador sumador , integrador inductivo, diferenciador capacitivo, integrador resistivo-capacitivo , diferenciador capacitivo-resistivo , inductivo-resistivo diferenciador, etc. Los integradores inversores de esta lista son ejemplos de aplicaciones útiles y deseadas del efecto Miller en su manifestación extrema.

En todos estos circuitos de inversión de amplificador operacional con retroalimentación negativa en paralelo , la corriente de entrada aumenta al máximo. Está determinado únicamente por el voltaje de entrada y la impedancia de entrada de acuerdo con la ley de Ohm ; no depende de la impedancia${\displaystyle Z}$.

La impedancia negativa con inversión de voltaje se implementa aplicando retroalimentación negativa y positiva a un amplificador de amplificador operacional con una entrada diferencial. La fuente de voltaje de entrada debe tener impedancia interna${\displaystyle Z_{int}>0}$o tiene que estar conectado a través de otro elemento de impedancia a la entrada. En estas condiciones, el voltaje de entrada${\displaystyle V_{i}}$ del circuito cambia su polaridad cuando el voltaje de salida excede la caída de voltaje ${\displaystyle V_{z}}$ a través de la impedancia${\displaystyle V_{i}=V_{z}-V_{o}<0}$).

Una aplicación típica es un convertidor de impedancia negativa con inversión de voltaje (VNIC). ^[5] Es interesante que el voltaje de entrada del circuito tenga la misma polaridad que el voltaje de salida, aunque se aplica a la entrada del amplificador operacional inversor; la fuente de entrada tiene una polaridad opuesta a los voltajes de entrada y salida del circuito.

Generalización del arreglo de Miller

El efecto Miller original se implementa mediante impedancia capacitiva conectada entre los dos nodos. El teorema de Miller generaliza el efecto de Miller ya que implica una impedancia arbitraria${\displaystyle Z}$conectado entre los nodos. También se supone un coeficiente constante${\displaystyle K}$; entonces las expresiones anteriores son válidas. Pero las propiedades de modificación del teorema de Miller existen incluso cuando se violan estos requisitos y esta disposición se puede generalizar aún más dinamizando la impedancia y el coeficiente.

Elemento no lineal. Además de la impedancia, la disposición de Miller puede modificar la característica IV de un elemento arbitrario. El circuito de un convertidor de diodos logarítmicos es un ejemplo de una resistencia no lineal virtualmente cero donde la curva IV logarítmica directa de un diodo se transforma en una línea recta vertical que se superpone a la${\displaystyle y}$ eje.

No coeficiente constante. Si el coeficiente${\displaystyle K}$varía, se pueden obtener algunos elementos virtuales exóticos. Un circuito giratorio es un ejemplo de un elemento virtual donde la resistencia${\displaystyle R_{L}}$ se modifica para imitar la inductancia, capacitancia o resistencia inversa.

Teorema dual de Miller (para corrientes)

Definición

También hay una versión dual del teorema de Miller que se basa en la ley de corriente de Kirchhoff ( teorema de Miller para corrientes ): si hay una rama en un circuito con impedancia${\displaystyle Z}$ conectando un nodo, donde dos corrientes ${\displaystyle I_{1}}$ y ${\displaystyle I_{2}}$ convergen a tierra, podemos reemplazar esta rama por dos conductores de las corrientes referidas, con imperespectivamente igual a ${\displaystyle (1+\alpha )Z}$ y ${\displaystyle {\frac {(1+\alpha )Z}{\alpha }}}$, donde ${\displaystyle \alpha ={\frac {I_{2}}{I_{1}}}}$. El teorema dual puede demostrarse reemplazando la red de dos puertos por su equivalente y aplicando el teorema de absorción de fuente. ^[3]

Explicación

El teorema dual de Miller en realidad expresa el hecho de que conectar una segunda fuente de corriente que produce una corriente proporcional ${\displaystyle I_{2}=KI_{1}}$en paralelo con la fuente de entrada principal y el elemento de impedancia cambia la corriente que fluye a través de él, el voltaje y, en consecuencia, la impedancia del circuito vista desde el lado de la fuente de entrada. Dependiendo de la direccion,${\displaystyle I_{2}}$ actúa como una fuente de corriente suplementaria que ayuda o se opone a la fuente de corriente principal ${\displaystyle I_{1}}$para crear voltaje a través de la impedancia. La combinación del elemento real y la segunda fuente de corriente puede pensarse como un nuevo elemento virtual con impedancia modificada dinámicamente.

Implementación

El teorema dual de Miller generalmente se implementa mediante una disposición que consta de dos fuentes de voltaje que suministran la impedancia conectada a tierra ${\displaystyle Z}$a través de impedancias flotantes (ver Fig. 3 ). Las combinaciones de las fuentes de voltaje y las impedancias correspondientes forman las dos fuentes de corriente: la principal y la auxiliar. Como en el caso del teorema principal de Miller, el segundo voltaje generalmente es producido por un amplificador de voltaje. Dependiendo del tipo de amplificador (inversor, no inversor o diferencial) y la ganancia, la impedancia de entrada del circuito puede ser virtualmente aumentada, infinita, disminuida, cero o negativa.

Aplicaciones

Como teorema principal de Miller, además de ayudar al proceso de análisis de circuitos, la versión dual es una herramienta poderosa para diseñar y comprender circuitos basados ​​en modificar la impedancia por corriente adicional. Las aplicaciones típicas son algunos circuitos exóticos con impedancia negativa como canceladores de carga, ^[6] neutralizadores de capacitancia, ^[7] fuente de corriente Howland y su integrador Deboo derivado. ^[8] En el último ejemplo (ver Fig. 1 allí), la fuente de corriente Howland consiste en una fuente de voltaje de entrada${\displaystyle V_{in}}$, una resistencia positiva ${\displaystyle R}$, una carga (el condensador ${\displaystyle C}$ actuando como impedancia ${\displaystyle Z}$) y un convertidor de impedancia negativa INIC (${\displaystyle R_{1}=R_{2}=R_{3}=R}$y el amplificador operacional). La fuente de voltaje de entrada y la resistencia.${\displaystyle R}$ constituyen una fuente de corriente imperfecta que pasa corriente ${\displaystyle I_{R}}$a través de la carga (ver Fig. 3 en la fuente). El INIC actúa como una segunda fuente de corriente que pasa corriente de "ayuda"${\displaystyle I_{-R}}$a través de la carga. Como resultado, la corriente total que fluye a través de la carga es constante y la impedancia del circuito vista por la fuente de entrada aumenta. A modo de comparación, en un cancelador de carga ^{[ enlace muerto permanente ]} , el INIC pasa toda la corriente requerida a través de la carga; la impedancia del circuito vista desde el lado de la fuente de entrada (la impedancia de carga) es casi infinita.

Lista de aplicaciones específicas basadas en los teoremas de Miller

A continuación se muestra una lista de soluciones de circuitos, fenómenos y técnicas basadas en los dos teoremas de Miller.

Soluciones de circuitos

• Potentiometric null-balance meter
• Electromechanical data recorders with a potentiometric servo system
• Emitter (source, cathode) follower
• Transistor amplifier with emitter (source, cathode) degeneration
• Transistor bootstrapped biasing circuits
• Transistor integrator
• Common-emitter (common-source, common-cathode) amplifying stages with stray capacitances
• Op-amp follower
• Op-amp non-inverting amplifier
• Op-amp bootstrapped AC follower with high input impedance
• Bilateral current source
• Negative impedance converter with current inversion (INIC)
• Negative impedance load canceller
• Negative impedance input capacitance canceller
• Howland current source
• Deboo integrator
• Op-amp inverting ammeter
• Op-amp voltage-to-current converter (transconductance amplifier)
• Op-amp current-to-voltage converter (transimpedance amplifier)
• Op-amp resistance-to-current converter
• Op-amp resistance-to-voltage converter
• Op-amp inverting amplifier
• Op-amp inverting summer
• Op-amp inverting capacitive integrator (current integrator, charge amplifier)
• Op-amp inverting resistive-capacitive integrator
• Op-amp inverting capacitive differentiator
• Op-amp inverting capacitive-resistive differentiator
• Op-amp inverting inductive integrator
• Op-amp inverting inductive-resistive differentiator, etc.
• Op-amp diode log converter
• Op-amp diode anti-log converter
• Op-amp inverting diode limiter (precision diode)
• Negative impedance converter with voltage inversion (VNIC), etc.

Fenómenos y técnicas de circuito

• Bootstrapping
• Input guarding of high impedance op-amp circuits
• Input-capacitance neutralization
• Virtual ground
• Miller effect
• Frequency op-amp compensation
• Negative impedance
• Load cancelling

Ver también

• Efecto Miller
• Amplificador de retroalimentación negativa
• Aplicaciones de amplificador operacional
• Bootstrapping

Referencias

1. "Teoremas de red diversos" . Netlecturer.com. Archivado desde el original el 21 de marzo de 2012 . Consultado el 3 de febrero de 2013 .
2. "EEE 194RF: teorema de Miller" (PDF) . Consultado el 3 de febrero de 2013 .
3. "Teorema de Miller" . Paginas.fe.up.pt . Consultado el 3 de febrero de 2013 .
4. Trabajando con amplificadores operacionales de alta impedancia Archivado el 23 de septiembre de 2010 en la Wayback Machine AN-241
5. "Análisis de circuito no lineal: una introducción" (PDF) . Consultado el 3 de febrero de 2013 .
6. El cancelador de carga de resistencia negativa ayuda a impulsar cargas pesadas
7. DH Sheingold (1 de enero de 1964), "Transformaciones de impedancia y admitancia mediante amplificadores operacionales" , The Lightning Empiricist , 12 (1) , consultado el 22 de junio de 2014
8. "Considere el integrador de suministro único" Deboo "" . Maxim-ic.com. 2002-08-29 . Consultado el 3 de febrero de 2013 .

Lectura adicional

• Fundamentos de la microelectrónica por Behzad Razavi
• Circuitos microelectrónicos de Adel Sedra y Kenneth Smith
• Fundamentos del diseño de circuitos de RF por Jeremy Everard

Enlaces externos

• El teorema de Miller revisado
• Nuevos resultados relacionados con el teorema de Miller
• Un teorema de la red dual al teorema de Miller
• Teorema de Miller generalizado y sus aplicaciones
• El teorema de descomposición por retroalimentación (FDT): la evolución del teorema de Miller
• Un cálculo preciso del efecto Miller en la respuesta de frecuencia y en las impedancias de entrada y salida de los amplificadores de retroalimentación (usando FDT)