En matemáticas , la desigualdad de Muirhead , que lleva el nombre de Robert Franklin Muirhead , también conocido como el método de "agrupamiento", generaliza la desigualdad de medias aritméticas y geométricas .
Definiciones preliminares
un medio
definen el " un -mean" [ una ] de los números reales positivos x 1 , ..., x n por
donde la suma se extiende sobre todas las permutaciones σ de {1, ..., n }.
Cuando los elementos de una son números enteros no negativos, la una -mean puede equivalentemente definido a través de la monomio simétrica polinomio como
donde l es el número de elementos distintos en a , y k 1 , ..., k l son sus multiplicidades.
Observe que la una -mean como se define anteriormente sólo tiene las propiedades usuales de una media (por ejemplo, si la media de un número igual es igual a ellos) si. En el caso general, se puede considerar en cambio, que se llama una media de Muirhead . [1]
- Ejemplos de
- Para un = (1, 0, ..., 0), el un -mean es sólo el ordinario media aritmética de x 1 , ..., x n .
- Para un = (1 / n , ..., 1 / n ), la una -mean es la media geométrica de x 1 , ..., x n .
- Para un = ( x , 1- x ), la una -mean es la media de Heinz .
Matrices doblemente estocásticas
Una matriz P de n × n es doblemente estocástica precisamente si tanto P como su transpuesta P T son matrices estocásticas . Una matriz estocástica es una matriz cuadrada de entradas reales no negativas en la que la suma de las entradas en cada columna es 1. Por lo tanto, una matriz doblemente estocástica es una matriz cuadrada de entradas reales no negativas en la que la suma de las entradas en cada fila y el suma de las entradas en cada columna es 1.
Declaración
La desigualdad de Muirhead establece que [ a ] ≤ [ b ] para todo x tal que x i > 0 para todo i ∈ {1, ..., n } si y solo si hay alguna matriz P doblemente estocástica para la cual a = Pb .
Además, en ese caso tenemos [ a ] = [ b ] si y solo si a = bo todos x i son iguales.
La última condición se puede expresar de varias formas equivalentes; uno de ellos se da a continuación.
La demostración hace uso del hecho de que cada matriz doblemente estocástica es un promedio ponderado de matrices de permutación ( teorema de Birkhoff-von Neumann ).
Otra condición equivalente
Debido a la simetría de la suma, no se pierde ninguna generalidad al ordenar los exponentes en orden decreciente:
Entonces la existencia de una matriz P doblemente estocástica tal que a = Pb es equivalente al siguiente sistema de desigualdades:
(El último es una igualdad; los otros son desigualdades débiles).
La secuencia se dice que mayoriza la secuencia.
Notación de suma simétrica
Es conveniente utilizar una notación especial para las sumas. Un éxito en la reducción de una desigualdad en esta forma significa que la única condición para probarla es verificar si una secuencia exponente () mayoriza el otro.
Esta notación requiere desarrollar cada permutación, desarrollando una expresión hecha de n ! monomios , por ejemplo:
Ejemplos de
Desigualdad media aritmético-geométrica
Dejar
y
Tenemos
Luego
- [ a A ] ≥ [ a G ],
cual es
produciendo la desigualdad.
Otros ejemplos
Buscamos demostrar que x 2 + y 2 ≥ 2 xy usando agrupamiento (desigualdad de Muirhead). Lo transformamos en la notación de suma simétrica:
La secuencia (2, 0) mayoriza la secuencia (1, 1), por lo que la desigualdad se mantiene por agrupamiento.
Del mismo modo, podemos probar la desigualdad
escribiéndolo usando la notación de suma simétrica como
que es lo mismo que
Dado que la secuencia (3, 0, 0) mayoriza la secuencia (1, 1, 1), la desigualdad se mantiene al agrupar.
Ver también
Notas
Referencias
- Teoría combinatoria de John N. Guidi, basada en conferencias impartidas por Gian-Carlo Rota en 1998, MIT Copy Technology Center, 2002.
- Kiran Kedlaya, A < B ( A menos que B ) , una guía para resolver desigualdades
- Teorema de Muirhead en PlanetMath .
- Hardy, GH; Littlewood, JE; Pólya, G. (1952), Desigualdades, Cambridge Mathematical Library (2. ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-05206-8 , SEÑOR0046395 , Zbl 0047.05302 , Sección 2.18, Teorema 45.