En matemáticas , la mayorización es un preorden de vectores de números reales . Por un vector, denotamos por el vector con los mismos componentes, pero ordenados en orden descendente. Dado, Nosotros decimos eso mayoriza débilmente (o domina) desde abajo escrito como si
De manera equivalente, decimos que está débilmente mayorizado (o dominado) por desde abajo , escrito como.
Si y además , Nosotros decimos eso mayoriza (o domina), Escrito como . De manera equivalente, decimos queestá mayorizado (o dominado) por, Escrito como .
Tenga en cuenta que el orden de mayorización no depende del orden de los componentes de los vectores o . La mayorización no es un orden parcial , ya que y no implicar , solo implica que los componentes de cada vector son iguales, pero no necesariamente en el mismo orden.
Tenga en cuenta que la notación es inconsistente en la literatura matemática: algunos usan la notación inversa, por ejemplo, es reemplazado por .
Una función se dice que es Schur convexo cuando implica . Similar,es Schur cóncavo cuando implica
El orden parcial de mayorización en conjuntos finitos, descrito aquí, se puede generalizar al ordenamiento de Lorenz , un orden parcial en funciones de distribución . Por ejemplo, una distribución de riqueza es Lorenz-mayor que otra si su curva de Lorenz se encuentra por debajo de la otra. Como tal, una Lorenz-mayor distribución de la riqueza tiene un mayor coeficiente de Gini , y cuenta con más desigualdad de ingresos .
Ejemplos de
El orden de las entradas no afecta la mayorización, por ejemplo, la declaración es simplemente equivalente a .
Mayorización (fuerte): . Para vectores con n componentes
Mayorización (débil): . Para vectores con n componentes:
Geometría de mayorización
Para tenemos si y solo si está en el casco convexo de todos los vectores obtenidos permutando las coordenadas de .
La figura 1 muestra el casco convexo en 2D para el vector . Observe que el centro del casco convexo, que es un intervalo en este caso, es el vector. Este es el vector "más pequeño" que satisface para este vector dado .
La figura 2 muestra el casco convexo en 3D. El centro del casco convexo, que es un polígono 2D en este caso, es el vector "más pequeño" satisfactorio para este vector dado .
Condiciones equivalentes
Cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera si y solo si :
- para alguna matriz doblemente estocástica . [1] : Thm. 2.1 Esto equivale a decirpuede representarse como una combinación convexa de las permutaciones de; se puede verificar que existe tal representación convexa utilizando como máximo permutaciones de . [2]
- De podemos producir por una secuencia finita de "operaciones de Robin Hood" donde reemplazamos dos elementos y con y , respectivamente, para algunos . [1] : 11
- Para cada función convexa , . [1] : Thm. 2.9
- De hecho, basta un caso especial: y, por cada t ,. [3]
- . [4] : Ejercicio 12.17
En álgebra lineal
- Suponga que para dos vectores reales , mayoriza . Entonces se puede demostrar que existe un conjunto de probabilidadesy un conjunto de permutaciones tal que . [2] Alternativamente, se puede demostrar que existe una matriz doblemente estocástica tal que
- Decimos que un operador hermitiano ,, mayoriza a otro, , si el conjunto de valores propios de mayoriza el de .
En teoría de la computabilidad
Dado , luego se dice que mayoriza si por todos , . Si hay algo así que eso para todos , luego se dice que domina (o eventualmente domina ). Alternativamente, los términos anteriores a menudo se definen requiriendo la desigualdad estricta en vez de en las definiciones anteriores.
Generalizaciones
En los capítulos 14 y 15 de la obra de referencia Desigualdades: teoría de la mayorización y sus aplicaciones se examinan varias generalizaciones de la mayorización . Albert W. Marshall, Ingram Olkin , Barry Arnold. Segunda edicion. Springer Series en Estadística. Springer, Nueva York, 2011. ISBN 978-0-387-40087-7
Ver también
- La desigualdad de Muirhead
- Desigualdad de Karamata
- Función Schur-convexa
- Teorema de Schur-Horn que relaciona las entradas diagonales de una matriz con sus valores propios.
- Para números enteros positivos , la mayorización débil se denomina orden de dominancia .
Notas
- ^ a b c Barry C. Arnold. "Mayorización y orden de Lorenz: una breve introducción". Springer-Verlag Lecture Notes in Statistics, vol. 43, 1987.
- ^ a b Xingzhi, Zhan (2003). "El teorema agudo de Rado para mayorizaciones". The American Mathematical Monthly . 110 (2): 152-153. doi : 10.2307 / 3647776 . JSTOR 3647776 .
- ^ Publicación del 3 de julio de 2005 de fleeting_guest en el hilo "The Karamata Inequality" ,foros de la comunidad AoPS . Archivado el 11 de noviembre de 2020.
- ^ Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac L. (2010). Computación cuántica e información cuántica (2ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00217-3. OCLC 844974180 .
Referencias
- J. Karamata. "Sur une inegalite relativas aux fonctions convexes". Publ. Matemáticas. Univ. Belgrado 1, 145-158, 1932.
- GH Hardy, JE Littlewood y G. Pólya, Desigualdades , 2ª edición, 1952, Cambridge University Press, Londres.
- Desigualdades: teoría de la mayorización y sus aplicaciones Albert W. Marshall, Ingram Olkin , Barry Arnold, segunda edición. Springer Series en Estadística. Springer, Nueva York, 2011. ISBN 978-0-387-40087-7
- Desigualdades: teoría de la mayorización y sus aplicaciones (1980) Albert W. Marshall, Ingram Olkin , Academic Press, ISBN 978-0-12-473750-1
- Un tributo al libro de Marshall y Olkin "Desigualdades: teoría de la mayorización y sus aplicaciones"
- Análisis matricial (1996) Rajendra Bhatia, Springer, ISBN 978-0-387-94846-1
- Temas de análisis matricial (1994) Roger A. Horn y Charles R. Johnson, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1
- Funciones de matricial y matricial monótona en comunicaciones inalámbricas (2007) Eduard Jorswieck y Holger Boche, Now Publishers, ISBN 978-1-60198-040-3
- La clase magistral de Cauchy Schwarz (2004) J. Michael Steele, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54677-5
enlaces externos
- Mayorización en MathWorld
- Mayorización en PlanetMath
Software
- Código OCTAVE / MATLAB para verificar la mayorización