Teorema de myers

El teorema de Myers , también conocido como el teorema de Bonnet-Myers , es un teorema fundamental célebre en el campo matemático de la geometría de Riemann . Fue descubierto por Sumner Byron Myers en 1941. Afirma lo siguiente:

Sea una variedad Riemanniana completa de dimensión cuya curvatura de Ricci satisface para algún número real positivo. Entonces, dos puntos cualesquiera de M pueden unirse mediante un segmento geodésico de longitud .

{\ Displaystyle (M, g)}

{\ Displaystyle n}

{\ Displaystyle Ric ^ {g} \ geq (n-1) k}

{\ Displaystyle k.}

{\ Displaystyle \ leq \ pi / {\ sqrt {k}}}

En el caso especial de las superficies, este resultado fue probado por Ossian Bonnet en 1855. Para una superficie, las curvaturas de Gauss, seccional y Ricci son todas iguales, pero la prueba de Bonnet se generaliza fácilmente a dimensiones más altas si se asume un límite inferior positivo en la curvatura seccional . Por lo tanto, la contribución clave de Myers fue mostrar que un límite inferior de Ricci es todo lo que se necesita para llegar a la misma conclusión.

Corolarios

La conclusión del teorema dice, en particular, que el diámetro de es finito. El teorema de Hopf-Rinow, por lo tanto, implica que debe ser compacto, ya que una bola cerrada (y por lo tanto compacta) de radio en cualquier espacio tangente es transportada a todo por el mapa exponencial. ${\ Displaystyle (M, g)}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ pi / {\ sqrt {k}}}$ ${\ Displaystyle M}$

Como caso muy particular, esto muestra que cualquier variedad Riemanniana suave completa y no compacta que sea Einstein debe tener una constante de Einstein no positiva.

Considere el mapa recubrimiento universal suave $π: N \to M$ . Se puede considerar la métrica de Riemann $π * g$ de $N$ . Dado que $π$ es un difeomorfismo local, el teorema de Myers se aplica a la variedad de Riemann $(N, π * g)$ y, por lo tanto, $N$ es compacto. Esto implica que el grupo fundamental de $M$ es finito.

Teorema de rigidez del diámetro de Cheng

La conclusión de Myers' teorema dice que para cualquier $p$ y $q$ en $M$ , uno tiene $d g (p, q) \leq pi / \sqrt k$ . En 1975, Shiu-Yuen Cheng demostró:

Sea $(M, g)$ una variedad riemanniana completa y uniforme de dimensión $n$ . Si $k$ es un número positivo con $Ric g \geq (n -1) k$ , y si existe $p$ y $q$ en $M$ con $d g (p, q) = π / \sqrt k$ , entonces $(M, g)$ está conectado simplemente- y tiene una curvatura seccional constante $k$ .

Ver también

Teorema de compacidad de Gromov (geometría)

Referencias

Ambrose, W. Un teorema de Myers. Duke Math. J. 24 (1957), 345–348.
Cheng, Shiu Yuen (1975), "Teoremas de comparación de valores propios y sus aplicaciones geométricas", Mathematische Zeitschrift , 143 (3): 289-297, doi : 10.1007 / BF01214381 , ISSN 0025-5874 , MR 0378001
do Carmo, MP (1992), Riemannian Geometry , Boston, Mass .: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8
Myers, SB (1941), "Variedades de Riemann con curvatura media positiva", Duke Mathematical Journal , 8 (2): 401–404, doi : 10.1215 / S0012-7094-41-00832-3