El teorema de Myers , también conocido como el teorema de Bonnet-Myers , es un teorema fundamental célebre en el campo matemático de la geometría de Riemann . Fue descubierto por Sumner Byron Myers en 1941. Afirma lo siguiente:
En el caso especial de las superficies, este resultado fue probado por Ossian Bonnet en 1855. Para una superficie, las curvaturas de Gauss, seccional y Ricci son todas iguales, pero la prueba de Bonnet se generaliza fácilmente a dimensiones más altas si se asume un límite inferior positivo en la curvatura seccional . Por lo tanto, la contribución clave de Myers fue mostrar que un límite inferior de Ricci es todo lo que se necesita para llegar a la misma conclusión.
Corolarios
La conclusión del teorema dice, en particular, que el diámetro de es finito. Por tanto, el teorema de Hopf-Rinow implica que debe ser compacto, como una bola cerrada (y por tanto compacta) de radio en cualquier espacio tangente se lleva a todos los por el mapa exponencial.
Como caso muy particular, esto muestra que cualquier variedad Riemanniana suave completa y no compacta que sea Einstein debe tener una constante de Einstein no positiva.
Considere el mapa recubrimiento universal suave π: N → M . Se puede considerar la métrica de Riemann π * g de N . Dado que π es un difeomorfismo local, el teorema de Myers se aplica a la variedad de Riemann ( N , π * g ) y, por lo tanto, N es compacto. Esto implica que el grupo fundamental de M es finito.
Teorema de rigidez del diámetro de Cheng
La conclusión de Myers' teorema dice que para cualquier p y q en M , uno tiene d g ( p , q ) ≤ pi / √ k . En 1975, Shiu-Yuen Cheng demostró:
Sea ( M , g ) una variedad riemanniana completa y uniforme de dimensión n . Si k es un número positivo con Ric g ≥ ( n -1) k , y si existe p y q en M con d g ( p , q ) = π / √ k , entonces ( M , g ) está conectado simplemente- y tiene una curvatura seccional constante k .
Ver también
Referencias
- Ambrose, W. Un teorema de Myers. Duke Math. J. 24 (1957), 345–348.
- Cheng, Shiu Yuen (1975), "Teoremas de comparación de valores propios y sus aplicaciones geométricas", Mathematische Zeitschrift , 143 (3): 289-297, doi : 10.1007 / BF01214381 , ISSN 0025-5874 , MR 0378001
- do Carmo, MP (1992), Riemannian Geometry , Boston, Mass .: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8
- Myers, SB (1941), "Variedades de Riemann con curvatura media positiva", Duke Mathematical Journal , 8 (2): 401–404, doi : 10.1215 / S0012-7094-41-00832-3