La mecánica cuántica se aplicó por primera vez a la óptica , y en particular a la interferencia , por Paul Dirac . [1] Richard Feynman , en sus Lectures on Physics , utiliza la notación de Dirac para describir experimentos mentales en la interferencia de doble rendija de electrones . [2] El enfoque de Feynman se extendió a los interferómetros N -lit para iluminación de fotón único o iluminación láser de ancho de línea estrecho , es decir, iluminación por fotones indistinguibles , de Frank Duarte .[3] [4] Elinterferómetro N -slit se aplicó por primera vez en la generación y medición de patrones de interferencia complejos. [3] [4]
En este artículo se describe la ecuación interferométrica N -slit generalizada , derivada mediante la notación de Dirac. Aunque originalmente se derivó para reproducir y predecir interferogramas N -slit, [3] [4] esta ecuación también tiene aplicaciones en otras áreas de la óptica.
Amplitudes de probabilidad y ecuación interferométrica N -slit
En este enfoque, la amplitud de probabilidad para la propagación de un fotón desde una fuente sa un plano de interferencia x , a través de una matriz de rendijas j , se da usando la notación bra-ket de Dirac como [3]
Esta ecuación representa la amplitud de probabilidad de una propagación de fotones de s a x a través de una matriz de j rendijas. Usando una representación de función de onda para las amplitudes de probabilidad, [1] y definiendo las amplitudes de probabilidad como [3] [4] [5]
donde θ j y Φ j son los ángulos de fase de incidencia y difracción, respectivamente. Por lo tanto, la amplitud de probabilidad general se puede reescribir como
dónde
y
después de algo de álgebra, la probabilidad correspondiente se convierte en [3] [4] [5]
donde N es el número total de rendijas en la matriz, o rejilla de transmisión, y el término entre paréntesis representa la fase que está directamente relacionada con las diferencias de trayectoria exactas derivadas de la geometría de la matriz N -slit ( j ), el intrainterferométrico distancia, y el plano interferométrico x . [5] En su versión más simple, el término de fase puede relacionarse con la geometría usando
donde k es el número de onda , y L m y L m - 1 representan las diferencias de trayectoria exactas. Aquí la ecuación interferométrica de Dirac - Duarte (DD) es una distribución de probabilidad que está relacionada con la distribución de intensidad medida experimentalmente. [6] Los cálculos se realizan numéricamente. [5]
La ecuación interferométrica DD se aplica a la propagación de un solo fotón, o la propagación de un conjunto de fotones indistinguibles, y permite la predicción precisa de patrones interferométricos medidos de N -lit de forma continua desde el campo cercano al lejano. [5] [6] Se ha demostrado que los interferogramas generados con esta ecuación se comparan bien con los interferogramas medidos para valores pares ( N = 2, 4, 6 ... ) e impares ( N = 3, 5, 7 ... ) de N de 2 a 1600. [5] [7]
Aplicaciones
A nivel práctico, la ecuación interferométrica N -slit se introdujo para aplicaciones de imágenes [5] y se aplica de forma rutinaria para predecir interferogramas láser N -slit, tanto en el campo cercano como en el lejano. Por lo tanto, se ha convertido en una herramienta valiosa en la alineación de interferómetros láser N -lit grandes y muy grandes [8] [9] utilizados en el estudio de turbulencia en aire claro y la propagación de caracteres interferométricos para comunicaciones láser seguras en el espacio . Otras aplicaciones analíticas se describen a continuación.
Difracción y refracción generalizadas
La ecuación interferométrica N -slit se ha aplicado para describir fenómenos clásicos como interferencia , difracción , refracción ( ley de Snell ) y reflexión , en un enfoque racional y unificado, utilizando principios de la mecánica cuántica. [7] [10] En particular, este enfoque interferométrico se ha utilizado para derivar ecuaciones de refracción generalizadas para la refracción tanto positiva como negativa , [11] proporcionando así un vínculo claro entre la teoría de la difracción y la refracción generalizada. [11]
Del término de fase, de la ecuación interferométrica, la expresión
puede obtenerse, donde M = 0, 2, 4 ... .
Para n 1 = n 2 , esta ecuación se puede escribir como [7] [10]
que es la ecuación de red de difracción generalizada . Aquí, θ m es el ángulo de incidencia, φ m es el ángulo de difracción, λ es la longitud de onda y m = 0, 1, 2 ... es el orden de difracción.
En determinadas condiciones, d m ≪ λ , que se pueden obtener fácilmente de forma experimental, el término de fase se convierte en [7] [10]
que es la ecuación de refracción generalizada, [11] donde θ m es el ángulo de incidencia, y φ m ahora se convierte en el ángulo de refracción.
Ecuación del ancho de línea de la cavidad
Además, la ecuación interferométrica N -slit se ha aplicado para derivar la ecuación del ancho de línea de la cavidad aplicable a los osciladores dispersivos, como los osciladores láser de rejilla de prismas múltiples : [12]
En esta ecuación, Δ θ es la divergencia del haz y la dispersión angular intracavitaria general es la cantidad entre paréntesis.
Imágenes por transformada de Fourier
Los investigadores que trabajan en imágenes fantasma por transformada de Fourier consideran la ecuación interferométrica N -slit [3] [5] [10] como una vía para investigar la naturaleza cuántica de la imagen fantasma. [13] Además, el enfoque interferométrico N -slit es uno de varios enfoques aplicados para describir fenómenos ópticos básicos de una manera cohesiva y unificada. [14]
Nota: dadas las diversas terminologías en uso, para la interferometría N -slit, se debe dejar explícito que la ecuación interferométrica N -slit se aplica a la interferencia de dos rendijas, interferencia de tres rendijas, interferencia de cuatro rendijas, etc.
Entrelazamiento cuántico
Los principios de Dirac y la metodología probabilística utilizados para derivar la ecuación interferométrica N -slit también se han utilizado para derivar la amplitud de probabilidad de entrelazamiento cuántico de polarización [15]
y las correspondientes amplitudes de probabilidad que representan la propagación de múltiples pares de cuantos. [dieciséis]
Comparación con métodos clásicos
Travis S. Taylor et al . Han realizado una comparación del enfoque de Dirac con los métodos clásicos, en la realización de cálculos interferométricos . [17] Estos autores concluyeron que la ecuación interferométrica, derivada del formalismo de Dirac, era ventajosa en el campo muy cercano.
Algunas diferencias entre la ecuación interferométrica DD y los formalismos clásicos se pueden resumir de la siguiente manera:
- El enfoque clásico de Fresnel se usa para aplicaciones de campo cercano y el enfoque clásico de Fraunhofer se usa para aplicaciones de campo lejano. Esa división no es necesaria cuando se utiliza el método interferométrico DD ya que este formalismo se aplica tanto a los casos de campo cercano como al de campo lejano. [5]
- El enfoque de Fraunhofer funciona para la iluminación de ondas planas. [18] El enfoque DD funciona tanto para iluminación de onda plana como para patrones de iluminación altamente difractivos. [5]
- La ecuación interferométrica DD es de carácter estadístico. Este no es el caso de las formulaciones clásicas.
Hasta ahora no se ha publicado ninguna comparación con enfoques clásicos más generales basados en el principio de Huygens-Fresnel o la fórmula de difracción de Kirchhoff .
Ver también
- Expansor de haz
- Notación de Dirac
- Difracción de Fraunhofer (matemáticas)
- Comunicaciones ópticas en espacio libre
- Ecuación de rejilla
- Comunicación láser en el espacio
- Ancho de línea láser
- Teoría de la dispersión de prismas múltiples
- Interferómetro N -slit
Referencias
- ↑ a b Dirac, PAM (1978). Los principios de la mecánica cuántica (4ª ed.). Londres: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-851208-0.[ página necesaria ]
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