El Problema de Resistencia Mínima de Newton es un problema de encontrar un sólido de revolución que experimenta una resistencia mínima cuando se mueve a través de un fluido homogéneo con velocidad constante en la dirección del eje de revolución, llamado así por Isaac Newton , quien estudió el problema en 1685 y publicó en 1687 en sus Principia Mathematica . [1] [ página necesaria ] Este es el primer ejemplo de un problema resuelto en lo que ahora se llama cálculo de variaciones , que apareció una década antes del problema de la braquistocrona . [2] Newton publicó la solución en Principia Mathematica.sin su derivación y David Gregory fue la primera persona que se acercó a Newton y lo persuadió de que escribiera un análisis para él. Luego, Gregory compartió la derivación con sus alumnos y compañeros. [3]
Según I Bernard Cohen, en su Guía de los Principia de Newton, "La clave del razonamiento de Newton se encontró en la década de 1880, cuando el conde de Portsmouth entregó la vasta colección de artículos científicos y matemáticos de Newton a la Universidad de Cambridge. Entre los manuscritos de Newton encontraron el borrador del texto de una carta, ... en el que Newton elaboró su argumento matemático. [Esto] nunca se entendió completamente, sin embargo, hasta la publicación de los principales documentos manuscritos por DT Whiteside [1974], cuyo comentario analítico e histórico ha permitido a los estudiantes de Newton no sólo para seguir completamente el camino de Newton hacia el descubrimiento y la prueba, sino también el recálculo posterior de Newton (1694) de la superficie de menor resistencia ". [4] [5]
Aunque el modelo de Newton para el fluido era incorrecto según nuestro conocimiento actual, el fluido que había considerado encuentra su aplicación en la teoría del flujo hipersónico como un caso límite. [6]
Definición
En la Proposición 34 del Libro 2 de los Principia, Newton escribió: Si en un medio raro, que consiste en partículas iguales dispuestas libremente a distancias iguales entre sí, un globo y un cilindro descritos en el mismo diámetro se mueven con velocidades iguales en la dirección de la eje del cilindro, la resistencia del globo será la mitad de grande que la del cilindro.
Siguiendo esta proposición está un escolio que contiene la famosa condición de que la curva que, al girar sobre su eje, genera el sólido que experimenta menos resistencia que cualquier otro sólido que tenga una longitud y un ancho fijos.
En la forma moderna, el problema de Newton es minimizar la siguiente integral: [7] [8]
dónde representa la curva que genera un sólido cuando se gira sobre el eje xy .
I es la reducción en la resistencia causada por las partículas que inciden sobre la superficie inclinada DNG, formada al girar la curva, en lugar de perpendicularmente sobre la proyección horizontal de DNG en el disco trasero DA desde la dirección del movimiento, en la Fig. 1. Tenga en cuenta que el frente del sólido es el disco BG, los triángulos GBC y GBR no son parte de él, pero Newton los usa a continuación para expresar la condición mínima.
Esta integral se relaciona con la resistencia total que experimenta el cuerpo por la siguiente relación:
El problema es encontrar la curva que genera el sólido que experimenta menos resistencia que cualquier otro sólido que tenga una longitud axial fija = L y un ancho fijo, H.
Dado que el sólido debe estrecharse en la dirección del movimiento, H es el radio del disco que forma la superficie posterior de la curva girada alrededor del eje x. Las unidades se eligen de modo que la constante de proporcionalidad sea la unidad. Además, tenga en cuenta que, y la integral, que se evalúa entre x = 0 y x = L es negativa. Sea y = h cuando x = L.
Cuando la curva es la línea horizontal, DK, entonces el sólido es un cilindro, , la integral es cero y la resistencia del cilindro es: , que explica el término constante.
Condición para un sólido de mínima resistencia
La forma más sencilla de aplicar la ecuación de Euler-Lagrange a este problema es reescribir la resistencia como:
- dónde , y la integral, que se evalúa entre y = H y y = h
,>
Sustituyendo el integrando en la ecuación de Euler-Lagrange
- , y se sigue que es constante, y esto se puede escribir como
- (1) donde , y donde es una constante.
Aunque las curvas que satisfacen la condición mínima no se pueden describir mediante una función simple, y = f (x), se pueden trazar usando p como parámetro, para obtener las coordenadas correspondientes (x, y) de las curvas. La ecuación de x en función de p se obtiene a partir de la condición mínima (1), y Newton encontró por primera vez un equivalente.
Diferenciando: , e integrando
- , dónde es una constante.
Desde , Cuándo , y , Cuándo , las constantes se puede determinar en términos de H, hy L. Dado que y de la ecuación (1) nunca puede ser cero o negativo, la superficie frontal de cualquier sólido que satisfaga la condición mínima debe ser un disco, GB.
Como este fue el primer ejemplo de este tipo de problema, Newton tuvo que inventar un método de solución completamente nuevo. Además, fue mucho más profundo en su análisis del problema que simplemente encontrar la condición (1).
Sólido que experimenta la menor resistencia
Mientras que un sólido de menor resistencia debe satisfacer (1), lo contrario no es cierto. La figura 2 muestra la familia de curvas que la satisfacen para diferentes valores de. Como aumenta el radio, Bg = h, del disco en x = L disminuye y la curva se vuelve más empinada.
Inmediatamente antes del problema de resistencia mínima, Newton afirmó que si en cualquier figura elíptica u ovalada rota sobre su eje, p se vuelve mayor que la unidad, se puede encontrar una con menos resistencia. Esto se logra reemplazando la parte del sólido que tiene p> 1 con el tronco de un cono cuyo ángulo de vértice es un ángulo recto, como se muestra en la Fig.2 para la curva. Esto tiene menos resistencia que. Newton no prueba esto, pero agrega que podría tener aplicaciones en la construcción naval. Whiteside proporciona una prueba y sostiene que Newton habría utilizado el mismo razonamiento.
En la figura 2, dado que el sólido generado a partir de la curva Dng satisface la condición mínima y tiene p <1 en g, experimenta menos resistencia que el de cualquier otra curva con el mismo punto final g. Sin embargo, para la curva DνΓ, con p> 1 en el punto final Γ, este no es el caso, ya que aunque la curva satisface la condición mínima, la resistencia experimentada por φγ y γΓ juntas es menor que la de φΓ.
Newton concluyó que de todos los sólidos que satisfacen la condición de resistencia mínima, el que experimenta la menor resistencia, DNG en la Fig.2, es el que tiene p = 1 en G. Esto se muestra esquemáticamente en la Fig.3 donde la resistencia general de el sólido varía contra el radio del disco de la superficie frontal, el mínimo ocurre cuando h = BG, correspondiente ap = 1 en G.
En los Principia, en la figura 1, la condición para el sólido de resistencia mínima se traduce a una forma geométrica de la siguiente manera: dibuje GR paralelo a la tangente en N, de modo que , y la ecuación (1) se convierte en:
En G, , , y , entonces que aparece en los Principia en la forma:
Derivación de Newton de la condición de resistencia mínima
Aunque esto parece bastante simple, tiene varias sutilezas que han causado mucha confusión.
En la figura 4, suponga que DNSG es la curva que cuando se gira sobre AB genera el sólido cuya resistencia es menor que cualquier otro sólido con las mismas alturas, AD = H, BG = hy longitud, AB = L.
La Fig. 5. muestra la región infinitesimal de la curva alrededor de N e I con más detalle. Aunque NI, Nj y NJ son realmente curvas, pueden aproximarse mediante líneas rectas siempre que NH sea lo suficientemente pequeño.
Sea HM = y, AM = x, NH = uy HI = w = dx. Sea la tangente en cada punto de la curva,. La reducción de la resistencia del anillo inclinado NI en comparación con el anillo vertical NH girado alrededor de AB es (2)
Supongamos que el sólido de resistencia mínima se sustituye por uno idéntico, excepto que el arco entre los puntos I y K se desplaza una pequeña distancia hacia la derecha. , oa la izquierda , como se muestra con más detalle en la Fig. 5. En cualquier caso, HI se convierte en .
La resistencia de los arcos de la curva DN y SG no se modifica. Además, la resistencia del arco IK no cambia con el desplazamiento, ya que la pendiente permanece igual a lo largo de su longitud. El único cambio en la resistencia general de DNSG se debe al cambio en el gradiente de los arcos NI y KS. Los 2 desplazamientos deben ser iguales para que la pendiente del arco IK no se vea afectada y la nueva curva termine en G.
La nueva resistencia debida a las partículas que inciden sobre NJ o Nj, en lugar de NI es:
+ w. (términos en potencias ascendentes de comenzando con el 2do).
El resultado es un cambio de resistencia de: + términos de orden superior, la resistencia se reduce si o> 0 (NJ menos resistido que NI).
Esta es la derivación original de 1685 donde obtiene el resultado anterior usando la expansión de la serie en potencias de o. En su revisión de 1694, diferencia (2) con respecto a w. Envió detalles de su acercamiento posterior a David Gregory, y estos se incluyen como un apéndice en la traducción de Motte de los Principia.
De manera similar, el cambio en la resistencia debido a las partículas que inciden sobre SL o Sl en lugar de SK es: + términos de orden superior.
El cambio general en la resistencia del sólido completo, + w. (términos en potencias ascendentes de comenzando con el 2do).
La figura 6 representa la resistencia total de DNJLSG o DNjlSG en función de o. Dado que la curva original DNIKSG tiene la menor resistencia, cualquier cambio o de cualquier signo debe resultar en un aumento de la resistencia. Esto solo es posible si el coeficiente de o en la expansión de es cero, entonces:
(2)
De no ser así, sería posible elegir un valor de o con signo que produjera una curva DNJLSG, o DNjlSG con menor resistencia que la curva original, contrario al supuesto inicial. La aproximación de tomar líneas rectas para los arcos finitos, NI y KS se vuelve exacta en el límite cuando HN y OS se acercan a cero. Además, NM y HM se pueden considerar iguales, al igual que OT y ST.
Sin embargo, N y S en la curva original son puntos arbitrarios, por lo que para 2 puntos cualesquiera en cualquier lugar de la curva se debe aplicar la igualdad anterior. Esto solo es posible si en el límite de cualquier arco infinitesimal HI, en cualquier lugar de la curva, la expresión,
es una constante. (3)
Este tiene que ser el caso ya que, si variara a lo largo de la curva, sería posible encontrar 2 arcos infinitesimales NI y KS tales que (2) fuera falso, y el coeficiente de o en la expansión de sería distinto de cero. Entonces podría producirse un sólido con menos resistencia eligiendo un valor adecuado de o.
Esta es la razón del término constante en la condición mínima en (3). Como se señaló anteriormente, Newton fue más allá y afirmó que la resistencia del sólido es menor que la de cualquier otro con la misma longitud y ancho, cuando la pendiente en G es igual a la unidad. Por lo tanto, en este caso, la constante en (3) es igual a un cuarto del radio del disco frontal del sólido,.
Referencias
- ^ Newton, Isaac. "Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Principios matemáticos de la filosofía natural)". Londres (1687) (1987).
- ^ Goldstine, Herman Heine. Una historia del cálculo de variaciones del siglo XVII al XIX. Vol. 5. Springer Science & Business Media, 2012.
- ^ Newton, I. "Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, traducción" por A. Motte (1729), revisada por F. Cajori (1934) ". Berkeley, CA: University of California Press 140: 175.
- ↑ Cohen, I. Bernard; Whitman, Anne (1999). Principia, una nueva traducción . Prensa de la Universidad de California . pag. 182.
- ^ Whiteside, DT (1974). Los artículos matemáticos de Isaac Newton, vol . 6 . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 456, 470–480.
- ^ Hayes, WD y Probstein, RF (1967). Teoría del flujo hipersónico: flujos invisibles. Prensa académica.
- ^ Chandrasekhar, Subrahmanyan. Principia de Newton para el lector común. Prensa de la Universidad de Oxford, 1995.
- ^ Davis, Harold Thayer. Introducción a las ecuaciones integrales y diferenciales no lineales. Courier Corporation, 1962.