Sólido de revolución

Girar una curva. La superficie formada es una superficie de revolución ; encierra un sólido de revolución.

Sólidos de revolución ( Matemateca Ime-Usp )

En matemáticas , ingeniería y manufactura , un sólido de revolución es una figura sólida que se obtiene al girar una curva plana alrededor de una línea recta (el eje de revolución ) que se encuentra en el mismo plano.

Suponiendo que la curva no cruza el eje, el volumen del sólido es igual a la longitud del círculo descrito por el centroide de la figura multiplicado por el área de la figura ( segundo teorema del centroide de Pappus ).

Un disco representativo es un elemento de volumen tridimensional de un sólido de revolución. El elemento se crea girando un segmento de línea (de longitud $w$ ) alrededor de algún eje (ubicado a $r$ unidades de distancia), de modo que se encierra un volumen cilíndrico de $π$ $r$ $2$ $w$ unidades.

Encontrar el volumen [ editar ]

Dos métodos comunes para encontrar el volumen de un sólido de revolución son el método de disco y el método de integración de la carcasa . Para aplicar estos métodos, es más fácil dibujar el gráfico en cuestión; identificar el área que se va a girar alrededor del eje de revolución; determinar el volumen de una rebanada en forma de disco del sólido, con un grosor $δx$ , o una concha cilíndrica de ancho $δx$ ; y luego encuentre la suma límite de estos volúmenes a medida que $δx se$ acerca a 0, un valor que se puede encontrar evaluando una integral adecuada. Se puede dar una justificación más rigurosa al intentar evaluar una integral triple en coordenadas cilíndricas con dos órdenes diferentes de integración.

Método de disco [ editar ]

Integración de disco sobre el eje y

El método del disco se utiliza cuando el corte que se dibujó es perpendicular al eje de revolución; es decir, cuando se integra en paralelo al eje de revolución.

El volumen del sólido formado girando el área entre las curvas de $f (x)$ y $g (x)$ y las líneas $x = un$ y $x = b$ sobre la $x$ eje x está dada por

{\ Displaystyle V = \ pi \ int _ {a} ^ {b} \ left | f (x) ^ {2} -g (x) ^ {2} \ right | \, dx \ ,.}

Si $g (x) = 0$ (por ejemplo, girando un área entre la curva y el eje $x$ ), esto se reduce a:

V=\pi \int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\,.

El método puede visualizarse considerando un rectángulo horizontal delgado en $y$ entre $f (y)$ en la parte superior y $g (y)$ en la parte inferior, y girándolo alrededor del eje $y$ ; forma un anillo (o disco en el caso de que $g (y) = 0$ ), con radio exterior $f (y)$ y radio interior $g (y)$ . El área de un anillo es $π (R 2 - r 2)$ , donde $R$ es el radio exterior (en este caso $f (y)$ ), y $r$ es el radio interior (en este caso $g (y)$ ). Por tanto, el volumen de cada disco infinitesimal es $π f (y) 2 dy$ . El límite de la suma de Riemann de los volúmenes de los discos entre $una$ y $b$ se vuelve integral (1).

Suponiendo la aplicabilidad del teorema de Fubini y la fórmula de cambio multivariante de variables, el método del disco se puede derivar de una manera sencilla (denotando el sólido como D):

V=\iiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(z)}^{f(z)}r\,dr\,dz=2\pi \int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}r^{2}\Vert _{f(z)}^{g(z)}\,dz=\pi \int _{a}^{b}f(z)^{2}-g(z)^{2}\,dz

Método del cilindro [ editar ]

Integración de Shell

El método del cilindro se utiliza cuando el corte que se dibujó es paralelo al eje de revolución; es decir, cuando se integra perpendicular al eje de revolución.

El volumen del sólido formado girando el área entre las curvas de $f (x)$ y $g (x)$ y las líneas $x = un$ y $x = b$ sobre el $y$ eje x está dada por

V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx\,.

Si $g (x) = 0$ (por ejemplo, girando un área entre la curva $y el$ eje $y$ ), esto se reduce a:

V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)|\,dx\,.

El método puede visualizarse considerando un rectángulo vertical delgado en $x$ con altura $f (x) - g (x)$ , y girándolo alrededor del eje $y$ ; forma una cáscara cilíndrica. El área de la superficie lateral de un cilindro es $2π rh$ , donde $r$ es el radio (en este caso $x$ ) y $h$ es la altura (en este caso $f (x) - g (x)$ ). Al resumir todas las áreas de superficie a lo largo del intervalo se obtiene el volumen total.

Este método puede derivarse con la misma integral triple, esta vez con un orden de integración diferente:

V=\iiint _{D}dV=\int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}\int _{0}^{2\pi }r\,d\theta \,dz\,dr=2\pi \int _{a}^{b}\int _{g(r)}^{f(r)}r\,dz\,dr=2\pi \int _{a}^{b}r(f(r)-g(r))\,dr

.

Demostración sólida de revolución

Las formas en movimiento, mostrando los sólidos de revolución formados por cada

Forma paramétrica [ editar ]

Matemáticas y arte : estudio de un jarrón como sólido de revolución por Paolo Uccello . siglo 15

Cuando una curva se define por su forma paramétrica $(x (t), y (t))$ en algún intervalo $[a, b]$ , los volúmenes de los sólidos generados al girar la curva alrededor del eje $x$ o el eje $y$ son dado por ^[1]

V_{x}=\int _{a}^{b}\pi y^{2}\,{\frac {dx}{dt}}\,dt\,,

V_{y}=\int _{a}^{b}\pi x^{2}\,{\frac {dy}{dt}}\,dt\,.

En las mismas circunstancias, las áreas de las superficies de los sólidos generadas al girar la curva alrededor del eje $x$ o el eje $y$ están dadas por ^[2]

A_{x}=\int _{a}^{b}2\pi y\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,,

A_{y}=\int _{a}^{b}2\pi x\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,.

Ver también [ editar ]

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Sólidos de revolución .

Cuerno de Gabriel
Teorema de guldinus
Pseudoesfera
Superficie de revolución
Ungula

Notas [ editar ]

^ Sharma, A. K. (2005). Aplicación del cálculo integral . Editorial Discovery. pag. 168. ISBN 81-7141-967-4.
^ Singh, Ravish R. (1993). Ingeniería matemática (6ª ed.). Tata McGraw-Hill. pag. 6,90. ISBN 0-07-014615-2.

Referencias [ editar ]

"Volúmenes de sólidos de revolución" . CliffsNotes.com . 12 de abril de 2011. Archivado desde el original el 19 de marzo de 2012.
Ayres, Frank ; Mendelson, Elliott (2008). Cálculo . Contornos de Schaum . Profesional de McGraw-Hill. págs. 244–248. ISBN 978-0-07-150861-2.( copia en línea , p. 244, en Google Books )
Weisstein, Eric W. "Solid of Revolution" . MathWorld .

[1] Sharma, A. K. (2005). Aplicación del cálculo integral . Editorial Discovery. pag. 168. ISBN 81-7141-967-4.

[2] Singh, Ravish R. (1993). Ingeniería matemática (6ª ed.). Tata McGraw-Hill. pag. 6,90. ISBN 0-07-014615-2.