Nació en Kilsallagh de John Conaty y su esposa Honora Brady y se educó en Kilmore Academy antes de completar sus estudios administrativos en Maynooth College . Conaty fue ordenado sacerdote el 17 de junio de 1848. [2] Formó parte del personal del Seminario Diocesano de Cavan desde entonces hasta 1854. Fue párroco de Castlerahan de 1854 a 1863. Conaty fue nombrado obispo coadjutor de Kilmore en 1863, y obispo de Kilmore en 1865 sucediendo al Dr. James Browne. Antes de convertirse en obispo, fue profesor en el Seminario Diocesano de Kilmore, también enseñó en All Hallows College Dublin y sirvió como párroco en Knocktemple, Co. Cavan.
Estableció el nuevo seminario diocesano y la escuela St. Patrick's College, Cavan [3] y empleó al renombrado arquitecto de iglesias William Hague en su edificio y otros edificios de iglesias en la diócesis. Trajo a las Clarisas (orden adjunta de monjas) a Cavan en la década de 1860.
Murió el 17 de enero de 1886 y fue sucedido por el obispo Bernard Finegan, que había sido párroco de Drumlane, Cavan.
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