Análisis nodal

La ley actual de Kirchhoff es la base del análisis nodal.

En el análisis eléctrico circuitos, análisis nodal , análisis de tensiones de nudo , o el método actual rama es un método de determinación de la tensión ( diferencia de potencial ) entre " nodos " (puntos donde los elementos o ramas conectan) en un circuito eléctrico en términos de la rama corrientes.

Al analizar un circuito utilizando las leyes de circuito de Kirchhoff , se puede realizar un análisis nodal utilizando la ley de corriente de Kirchhoff (KCL) o un análisis de malla utilizando la ley de voltaje de Kirchhoff (KVL). El análisis nodal escribe una ecuación en cada nodo eléctrico , lo que requiere que las corrientes de rama incidentes en un nodo deben sumar cero. Las corrientes derivadas se escriben en términos de los voltajes del nodo del circuito. Como consecuencia, cada relación constitutiva de rama debe dar corriente en función de la tensión; una representación de admisión . Por ejemplo, para una resistencia, I _rama = V _rama * G, donde G (= 1 / R) es la admitancia (conductancia) de la resistencia.

El análisis nodal es posible cuando todas las relaciones constitutivas de rama de los elementos del circuito tienen una representación de admitancia. El análisis nodal produce un conjunto compacto de ecuaciones para la red, que pueden resolverse a mano si son pequeñas, o pueden resolverse rápidamente usando álgebra lineal por computadora. Debido al sistema compacto de ecuaciones, muchos programas de simulación de circuitos (por ejemplo, SPICE ) utilizan el análisis nodal como base. Cuando los elementos no tienen representaciones de admitancia , se puede utilizar una extensión más general del análisis nodal, el análisis nodal modificado .

Procedimiento

1. Tenga en cuenta todos los segmentos de cable conectados en el circuito. Estos son los nodos del análisis nodal.
2. Seleccione un nodo como referencia de tierra . La elección no afecta el resultado y es solo una cuestión de convención. La elección del nodo con más conexiones puede simplificar el análisis. Para un circuito de N nodos, el número de ecuaciones nodales es N −1.
3. Asigne una variable para cada nodo cuyo voltaje se desconozca. Si ya se conoce el voltaje, no es necesario asignar una variable.
4. Para cada voltaje desconocido, forme una ecuación basada en la Ley de Corrientes de Kirchhoff (es decir, sume todas las corrientes que salen del nodo y marque la suma igual a cero). La corriente entre dos nodos es igual al nodo con mayor potencial menos el nodo con menor potencial, ambos divididos por la resistencia entre los dos nodos.
5. Si hay fuentes de voltaje entre dos voltajes desconocidos, une los dos nodos como un supernodo . Las corrientes de los dos nodos se combinan en una sola ecuación y se forma una nueva ecuación para los voltajes.
6. Resuelva el sistema de ecuaciones simultáneas para cada voltaje desconocido.

Ejemplos

Caso básico ₁

Circuito de ejemplo básico con un voltaje desconocido, V ₁ .

El único voltaje desconocido en este circuito es V ₁ . Hay tres conexiones a este nodo y, en consecuencia, tres corrientes a considerar. La dirección de las corrientes en los cálculos se elige alejada del nodo.

1. Corriente a través de la resistencia R ₁ : (V ₁ - V _S ) / R ₁
2. Corriente a través de la resistencia R ₂ : V ₁ / R ₂
3. Corriente a través de la fuente de corriente I _S : -I _S

Con la ley actual de Kirchhoff, obtenemos:

${\displaystyle {\frac {V_{1}-V_{S}}{R_{1}}}+{\frac {V_{1}}{R_{2}}}-I_{S}=0}$

Esta ecuación se puede resolver con respecto a V ₁ :

${\displaystyle V_{1}={\frac {\left({\frac {V_{S}}{R1}}+I_{S}\right)}{\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)}}}$

Finalmente, la tensión desconocida se puede resolver sustituyendo los símbolos por valores numéricos. Cualquier corriente desconocida es fácil de calcular después de que se conocen todos los voltajes en el circuito.

${\displaystyle V_{1}={\frac {\left({\frac {5{\text{ V}}}{100\,\Omega }}+20{\text{ mA}}\right)}{\left({\frac {1}{100\,\Omega }}+{\frac {1}{200\,\Omega }}\right)}}={\frac {14}{3}}{\text{ V}}}$

Supernodos

En este circuito, V _A está entre dos voltajes desconocidos y, por lo tanto, es un supernodo.

En este circuito, inicialmente tenemos dos voltajes desconocidos, V ₁ y V ₂ . Ya se sabe que el voltaje en V ₃ es V _B porque el otro terminal de la fuente de voltaje está al potencial de tierra.

La corriente que pasa por la fuente de voltaje V _A no se puede calcular directamente. Por lo tanto, no podemos escribir las ecuaciones actuales para V ₁ o V ₂ . Sin embargo, sabemos que la misma corriente que sale del nodo V ₂ debe entrar en el nodo V ₁ . Aunque los nodos no se pueden resolver individualmente, sabemos que la corriente combinada de estos dos nodos es cero. Esta combinación de los dos nodos se llama el supernodo técnica, y requiere una ecuación adicional: V ₁ = V ₂ + V _A .

El conjunto completo de ecuaciones para este circuito es:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {V_{1}-V_{\text{B}}}{R_{1}}}+{\frac {V_{2}-V_{\text{B}}}{R_{2}}}+{\frac {V_{2}}{R_{3}}}=0\\V_{1}=V_{2}+V_{\text{A}}\\\end{cases}}}$

Sustituyendo V ₁ a la primera ecuación y resolviendo con respecto a V ₂ , obtenemos:

${\displaystyle V_{2}={\frac {(R_{1}+R_{2})R_{3}V_{\text{B}}-R_{2}R_{3}V_{\text{A}}}{(R_{1}+R_{2})R_{3}+R_{1}R_{2}}}}$

Forma de matriz para la ecuación de voltaje de nodo

En general, para un circuito con nodos, las ecuaciones de voltaje de nodo obtenidas por análisis nodal se pueden escribir en forma de matriz como se deriva a continuación. Para cualquier nodo , KCL establece donde es el negativo de la suma de las conductancias entre los nodos y , y es el voltaje del nodo . Esto implica dónde está la suma de conductancias conectadas al nodo . Observamos que el primer término contribuye linealmente al nodo vía , mientras que el segundo término contribuye linealmente a cada nodo conectado al nodo vía con un signo menos. Si también se adjunta al nodo una fuente / entrada de corriente independiente${\displaystyle N}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=0}$${\displaystyle G_{kj}=G_{jk}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle j}$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$${\displaystyle G_{kk}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle G_{kk}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle G_{jk}}$${\displaystyle i_{k}}$${\displaystyle k}$, la expresión anterior se generaliza a . Es fácil mostrar que se pueden combinar las ecuaciones de voltaje de nodo anteriores para todos los nodos y escribirlas en la siguiente forma de matriz${\displaystyle i_{k}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}G_{11}&G_{12}&\cdots &G_{1N}\\G_{21}&G_{22}&\cdots &G_{2N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\G_{N1}&G_{N2}&\cdots &G_{NN}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i_{1}\\i_{2}\\\vdots \\i_{N}\end{pmatrix}}}$

o simplemente

${\displaystyle \mathbf {Gv} =\mathbf {i} }$

La matriz en el lado izquierdo de la ecuación es singular ya que satisface dónde es una matriz de columna. Esto se corresponde con el hecho de la conservación actual, es decir , y la libertad de elegir un nodo de referencia (suelo). En la práctica, el voltaje es el nodo de referencia se toma como 0. consideran que es el último nodo, . En este caso, es sencillo verificar que las ecuaciones resultantes para los otros nodos siguen siendo las mismas y, por lo tanto, uno puede simplemente descartar la última columna y la última línea de la ecuación matricial. Este procedimiento da como resultado una ecuación matricial dimensional no singular con las definiciones de todos los elementos que permanecen sin cambios.${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {G1} =0}$${\displaystyle \mathbf {1} }$${\displaystyle 1\times N}$${\displaystyle \sum _{k}i_{k}=0}$${\displaystyle v_{N}=0}$${\displaystyle N-1}$${\displaystyle (N-1)\times (N-1)}$

Ver también

• Análisis de malla
• Matriz de Ybus
• Topología (circuitos eléctricos)
• Conservación de carga

Referencias

• P. Dimo Análisis nodal de sistemas de potencia Abacus Press Kent 1975

Enlaces externos

Wikiversity tiene recursos de aprendizaje sobre el análisis nodal

• Método de corriente de rama
• Solucionador de problemas de cuatro nodos en línea
• Ejemplo de análisis nodal simple