El muestreo no uniforme es una rama de la teoría de muestreo que involucra resultados relacionados con el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon . El muestreo no uniforme se basa en la interpolación de Lagrange y la relación entre sí mismo y el teorema de muestreo (uniforme). El muestreo no uniforme es una generalización del teorema de muestreo de Whittaker-Shannon-Kotelnikov (WSK).
La teoría de muestreo de Shannon se puede generalizar para el caso de muestras no uniformes, es decir, muestras que no se toman igualmente espaciadas en el tiempo. La teoría de muestreo de Shannon para muestreo no uniforme establece que una señal de banda limitada se puede reconstruir perfectamente a partir de sus muestras si la frecuencia de muestreo promedio satisface la condición de Nyquist. [1] Por lo tanto, aunque las muestras uniformemente espaciadas pueden resultar en algoritmos de reconstrucción más fáciles, no es una condición necesaria para una reconstrucción perfecta.
La teoría general para muestras no uniformes y de banda base fue desarrollada en 1967 por Henry Landau . [2] Demostró que la tasa de muestreo promedio (uniforme o no) debe ser el doble del ancho de banda ocupado de la señal, asumiendo que se sabe a priori qué porción del espectro estaba ocupada. A fines de la década de 1990, este trabajo se amplió parcialmente para cubrir señales para las que se conocía la cantidad de ancho de banda ocupado, pero se desconocía la porción real del espectro ocupada. [3] En la década de 2000, se desarrolló una teoría completa (consulte la sección Más allá de Nyquist a continuación) utilizando sensores comprimidos . En particular, la teoría, que utiliza el lenguaje de procesamiento de señales, se describe en este artículo de 2009. [4] Muestran, entre otras cosas, que si se desconocen las ubicaciones de frecuencia, entonces es necesario muestrear al menos al doble de los criterios de Nyquist; en otras palabras, debe pagar al menos un factor de 2 por no conocer la ubicación del espectro . Tenga en cuenta que los requisitos mínimos de muestreo no garantizan necesariamente la estabilidad numérica .
Interpolación de Lagrange (polinomio)
Para una función dada, es posible construir un polinomio de grado n que tenga el mismo valor que la función en n + 1 puntos. [5]
Deje que los n + 1 puntos sean, y los valores n + 1 a ser.
De esta forma, existe un polinomio único tal que
Además, es posible simplificar la representación de utilizando los polinomios de interpolación de la interpolación de Lagrange:
De la ecuación anterior:
Como resultado,
Para hacer que la forma polinomial sea más útil:
De esa forma, aparece la Fórmula de interpolación de Lagrange :
Tenga en cuenta que si , entonces la fórmula anterior se convierte en:
Teorema de muestreo de Whittaker-Shannon-Kotelnikov (WSK)
Whittaker intentó extender la interpolación de Lagrange de polinomios a funciones completas. Demostró que es posible construir la función completa [9]
que tiene el mismo valor con en los puntos
Es más, se puede escribir en una forma similar a la última ecuación de la sección anterior:
Cuando a = 0 y W = 1, entonces la ecuación anterior se vuelve casi la misma que el teorema de WSK: [10]
Si una función f se puede representar en la forma
entonces f se puede reconstruir a partir de sus muestras de la siguiente manera:
Muestreo no uniforme
Para una secuencia satisfactorio [11]
luego
- y es el espacio de Bernstein
- es uniformemente convergente en conjuntos compactos. [12]
Lo anterior se denomina teorema de Paley-Wiener-Levinson, que generaliza el teorema de muestreo WSK de muestras uniformes a muestras no uniformes. Ambos pueden reconstruir una señal de banda limitada a partir de esas muestras, respectivamente.
Referencias
- ^ Muestreo no uniforme, teoría y práctica (ed. F. Marvasti), Kluwer Academic / Plenum Publishers, Nueva York, 2000
- ^ HJ Landau, "Condiciones de densidad necesarias para el muestreo y la interpolación de ciertas funciones completas", Acta Math., Vol. 117, págs. 37-52, febrero de 1967.
- ^ ver, por ejemplo, P. Feng, "Muestreo de frecuencia mínima universal y reconstrucción ciega al espectro para señales multibanda", Ph.D. disertación, Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, 1997.
- ^ Reconstrucción ciega de señales multibanda: detección comprimida para señales analógicas , Moshe Mishali y Yonina C. Eldar, en IEEE Trans. Proceso de señal. , Marzo de 2009, Vol 57 Número 3
- ^ Marvasti 2001, p. 124.
- ^ Marvasti 2001, págs. 124-125.
- ^ Marvasti 2001, p. 126.
- ^ Marvasti 2001, p. 127.
- ^ Marvasti 2001, p. 132.
- ^ Marvasti 2001, p. 134.
- ^ Marvasti 2001, p. 137.
- ^ Marvasti 2001, p. 138.
- F. Marvasti, muestreo no uniforme: teoría y práctica. Plenum Publishers Co., 2001, págs. 123–140.