Geometría proyectiva orientada

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Mientras que el plano proyectivo real describe el conjunto de todas las líneas no orientadas a través del origen en R ³ , el plano proyectivo orientado describe líneas con una orientación dada. Hay aplicaciones en gráficos por computadora y visión por computadora donde es necesario distinguir entre rayos de luz que son emitidos o absorbidos por un punto.

Los elementos en un espacio proyectivo orientado se definen usando coordenadas homogéneas firmadas . Sea el conjunto de elementos de exclusión del origen.${\ estilo de visualización \ mathbf {R} _ {*}^ {n}}$${\ estilo de visualización \ mathbf {R} ^ {n}}$

Estos espacios pueden verse como extensiones del espacio euclidiano . puede verse como la unión de dos copias de , los conjuntos ( x ,1) y ( x ,-1), más dos puntos adicionales en el infinito, (1,0) y (-1,0). Asimismo , se pueden ver dos copias de , ( x , y ,1) y ( x , y ,-1), más una copia de ( x , y ,0).${\ estilo de visualización \ matemáticas {T} ^ {1}}$${\ estilo de visualización \ mathbf {R}}$${\ estilo de visualización \ matemáticas {T} ^ {2}}$${\ estilo de visualización \ mathbf {R} ^ {2}}$${\ estilo de visualización \ mathbf {T}}$

Una forma alternativa de ver los espacios es como puntos en el círculo o la esfera, dados por los puntos ( x , y , w ) con

se pueden definir como elementos de${\ estilo de visualización \ matemáticas {T} ^ {1}}$

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