p-FEM o la versión p del método de elementos finitos es un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales parciales . Es una estrategia de discretización en la que se fija la malla de elementos finitos y se incrementan los grados polinomiales de los elementos de modo que el grado polinomial más bajo, denotado por, se acerca al infinito. Esto contrasta con la "versión h" o "h-FEM", una estrategia de discretización ampliamente utilizada, en la que los grados polinomiales de los elementos se fijan y la malla se refina de tal manera que el diámetro del elemento más grande, denotado por se acerca a cero.
Se demostró sobre la base de un problema de mecánica de fracturas elásticas lineales que las secuencias de soluciones de elementos finitos basadas en la versión p convergen más rápido que las secuencias basadas en la versión h de Szabó y Mehta en 1978. [1] Los fundamentos teóricos de la p-versión se establecieron en un artículo publicado por Babuška , Szabó y Katz en 1981 [2] donde se demostró que para una gran clase de problemas la tasa asintótica de convergencia de la p-versión en la norma energética es al menos el doble que la versión h, asumiendo que se utilizan mallas casi uniformes. Babuška y Szabó presentaron resultados computacionales adicionales y evidencia de una convergencia más rápida de la versión p en 1982. [3]
La distinción entre las versiones h y p existe principalmente por razones históricas y teóricas. En aplicaciones prácticas, el diseño de la malla y la elección de los grados polinomiales son importantes. De hecho, es posible lograr tasas exponenciales de convergencia cuando se usa la versión p en combinación con un diseño de malla adecuado. Este punto fue discutido desde la perspectiva de la ingeniería por Szabó y desde la perspectiva teórica por Guo y Babuška en 1986. [4] [5] La realización de tasas exponenciales de convergencia para las ecuaciones de Maxwell fue discutida por Costabel , Dauge y Schwab en 2005 [6].
Referencias
- ^ Szabó, BA y Mehta, AK, "Aproximaciones de elementos finitos p-convergentes en mecánica de fracturas". Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería 12, págs. 551-560, 1978.
- ^ Babuška I, Szabó, BA y Katz, IN, "La versión p del método de elementos finitos". SIAM Journal on Numerical Analysis 18, págs. 515-545, 1981.
- ^ Babuška, I. y Szabó, BA, "Sobre las tasas de convergencia del método de elementos finitos". Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería 18, págs. 323-341, 1982.
- ^ Szabó, BA, "Diseño de malla para la versión p del método de elementos finitos". Métodos informáticos en mecánica e ingeniería aplicadas 55 (1), págs. 181-197, 1986.
- ^ Guo, B. y Babuška, I. "La versión hp del método de elementos finitos. Parte 1. Resultados de la aproximación básica". Mecánica computacional 55, págs. 21-41, 1986.
- ^ Costabel, M., Dauge, M. y Schwab, C., "Convergencia exponencial de hp-FEM para ecuaciones de Maxwell con regularización ponderada en dominios poligonales". Modelos y métodos matemáticos en ciencias aplicadas 15 (04), págs. 575-622, 2005.