Eficiencia de Pareto

Estado en el que ninguna reasignación de recursos puede hacer que todos estén al menos igual de bien

La eficiencia de Pareto o la optimización de Pareto es una situación en la que ningún criterio individual o de preferencia puede mejorar sin empeorar al menos un criterio individual o de preferencia o sin perderlo. El concepto lleva el nombre de Vilfredo Pareto (1848-1923), ingeniero civil y economista italiano , quien utilizó el concepto en sus estudios de eficiencia económica y distribución del ingreso . Los siguientes tres conceptos están estrechamente relacionados:

• Dada una situación inicial, una mejora de Pareto es una situación nueva en la que algunos agentes ganarán y ningún agente perderá.
• Una situación se denomina dominada por Pareto si existe una posible mejora de Pareto.
• Una situación se denomina óptimo de Pareto o eficiente de Pareto si ningún cambio podría conducir a una mayor satisfacción de algún agente sin que otro agente pierda o si no hay margen para una mejora de Pareto adicional.

La frontera de Pareto es el conjunto de todas las asignaciones eficientes de Pareto, que se muestran gráficamente de forma convencional . También se conoce como el frente de Pareto o el conjunto de Pareto . ^[1]

Pareto usó originalmente la palabra "óptimo" para el concepto, pero como describe una situación en la que un número limitado de personas mejorará con recursos finitos, y no toma en cuenta la igualdad o el bienestar social, está en Efectuar una definición y mejor capturada por "eficiencia". ^[2]

Además del contexto de eficiencia en la asignación , el concepto de eficiencia de Pareto también surge en el contexto de eficiencia en la producción versus ineficiencia x : un conjunto de salidas de bienes es Pareto eficiente si no hay una reasignación factible de insumos productivos. de manera que la producción de un producto aumenta mientras que la producción de todos los demás bienes aumenta o permanece igual. ^{[3] : 459}

Además de la economía, la noción de eficiencia de Pareto se ha aplicado a la selección de alternativas en ingeniería y biología . Cada opción se evalúa primero, bajo múltiples criterios, y luego un subconjunto de opciones se identifica ostensiblemente con la propiedad de que ninguna otra opción puede superar categóricamente a la opción especificada. Es una declaración de imposibilidad de mejorar una variable sin dañar otras variables en el tema de la optimización multiobjetivo (también denominada optimización de Pareto ).

Visión general

Formalmente, una asignación es óptima en el sentido de Pareto si no hay una asignación alternativa en la que se puedan realizar mejoras en al menos el bienestar de un participante sin reducir el bienestar de cualquier otro participante. Si hay una transferencia que satisface esta condición, la nueva reasignación se denomina "mejora de Pareto". Cuando no son posibles las mejoras de Pareto, la asignación es un "óptimo de Pareto".

La presentación formal del concepto en una economía es la siguiente: Considere una economía con agentes y bienes. Entonces, una asignación , donde para todo i , es Pareto óptima si no hay otra asignación factible donde, para la función de utilidad para cada agente , para todos con para algunos . ^[4] Aquí, en esta economía simple, "factibilidad" se refiere a una asignación donde la cantidad total de cada bien que se asigna no supera la cantidad total del bien en la economía. En una economía más compleja con producción, una asignación consistiría en ambos vectores de consumo${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \{x_{1},...,x_{n}\}}$${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \{x_{1}',...,x_{n}'\}}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle u_{i}(x_{i}')\geq u_{i}(x_{i})}$${\displaystyle i\in \{1,...,n\}}$${\displaystyle u_{i}(x_{i}')>u_{i}(x_{i})}$${\displaystyle i}$ y vectores de producción, y la viabilidad requeriría que la cantidad total de cada bien consumido no sea mayor que la dotación inicial más la cantidad producida.

Bajo los supuestos del primer teorema del bienestar , un mercado competitivo conduce a un resultado eficiente en el sentido de Pareto. Este resultado fue demostrado matemáticamente por primera vez por los economistas Kenneth Arrow y Gérard Debreu . ^{[5] [ cita requerida ]} Sin embargo, el resultado solo se cumple bajo los supuestos del teorema: existen mercados para todos los bienes posibles, no hay externalidades ; los mercados son perfectamente competitivos; y los participantes del mercado tienen información perfecta .

En ausencia de información perfecta o mercados completos, los resultados generalmente serán ineficientes en el sentido de Pareto, según el teorema de Greenwald-Stiglitz . ^[6]

El segundo teorema del bienestar es esencialmente el reverso del primer teorema del bienestar. Afirma que bajo supuestos ideales similares, cualquier óptimo de Pareto puede obtenerse mediante algún equilibrio competitivo o sistema de mercado libre , aunque también puede requerir una transferencia de riqueza a tanto alzado . ^[4]

Variantes

Débil eficiencia de Pareto

La eficiencia de Pareto débil es una situación que no puede mejorarse estrictamente para todos los individuos. ^[7]

Formalmente, una fuerte mejora de Pareto se define como una situación en la que todos los agentes están estrictamente en mejor situación (en contraste con solo la "mejora de Pareto", que requiere que un agente esté estrictamente mejor y los otros agentes sean al menos tan buenos) . Una situación es eficiente en el sentido de Pareto débil si no tiene mejoras de Pareto fuertes.

Cualquier mejora de Pareto fuerte es también una mejora de Pareto débil. Lo contrario no es verdad; por ejemplo, considere un problema de asignación de recursos con dos recursos, que Alice valora en 10, 0 y George valora en 5, 5. Considere la asignación que le da todos los recursos a Alice, donde el perfil de utilidad es (10,0):

• Es un PO débil, ya que ninguna otra asignación es estrictamente mejor para ambos agentes (no hay fuertes mejoras de Pareto).
• Pero no es un PO fuerte, ya que la asignación en la que George obtiene el segundo recurso es estrictamente mejor para George y débilmente mejor para Alice (es una mejora de Pareto débil): su perfil de utilidad es (10,5).

Un mercado no requiere la no saciedad local para llegar a un óptimo de Pareto débil. ^[8]

Eficiencia de Pareto restringida

La eficiencia de Pareto restringida es un debilitamiento de la optimización de Pareto, lo que explica el hecho de que un planificador potencial (por ejemplo, el gobierno) puede no ser capaz de mejorar un resultado de mercado descentralizado, incluso si ese resultado es ineficiente. Esto ocurrirá si está limitado por las mismas restricciones informativas o institucionales que los agentes individuales. ^{[9] : 104}

Un ejemplo es un entorno en el que las personas tienen información privada (por ejemplo, un mercado laboral en el que el trabajador conoce la propia productividad del trabajador pero no un empleador potencial, o un mercado de automóviles usados ​​donde se conoce la calidad de un automóvil). al vendedor pero no al comprador) lo que da lugar a un riesgo moral o una selección adversa y un resultado subóptimo. En tal caso, es poco probable que un planificador que desee mejorar la situación tenga acceso a información que los participantes en los mercados no tengan. Por tanto, el planificador no puede implementar reglas de asignación que se basen en las características idiosincrásicas de los individuos; por ejemplo, "si una persona es del tipo A, paga el precio p1, pero si es del tipo B, paga el precio p2" (ver Precios Lindahl). Esencialmente, sólo se permiten reglas anónimas (del tipo "Todos pagan el precio p") o reglas basadas en el comportamiento observable; "si alguien elige x al precio px, obtiene un subsidio de diez dólares, y nada más". Si no existe una regla permitida que pueda mejorar con éxito el resultado del mercado, entonces se dice que ese resultado es "óptimo de Pareto restringido".

Eficiencia de Pareto fraccional

La eficiencia de Pareto fraccional es un fortalecimiento de la eficiencia de Pareto en el contexto de la asignación justa de artículos . Una asignación de ítems indivisibles es fraccionalmente Pareto-eficiente (fPE o fPO) si no está dominada por Pareto incluso por una asignación en la que algunos ítems se dividen entre agentes. Esto contrasta con la eficiencia de Pareto estándar, que solo considera la dominación por asignaciones factibles (discretas). ^{[10] [11]}

Como ejemplo, considere un problema de asignación de elementos con dos elementos, que Alice valora en 3, 2 y George valora en 4, 1. Considere la asignación que le da el primer elemento a Alice y el segundo a George, donde el perfil de utilidad es (3 , 1):

• Es Pareto-eficiente, ya que cualquier otra asignación discreta (sin dividir elementos) empeora a alguien.
• Sin embargo, no es fraccionalmente Pareto-eficiente, ya que está dominado por Pareto por la asignación que le da a Alice la mitad del primer elemento y todo el segundo elemento, y la otra mitad del primer elemento a George - su El perfil de utilidad es (3.5, 2).

El siguiente ejemplo ^[10] muestra el "precio" de fPO. La asignación integral que maximiza el producto de los servicios públicos (también llamada bienestar de Nash) es PO pero no fPO. Además, el producto de los servicios públicos en cualquier asignación de OPF es como máximo 1/3 del producto máximo. Hay 5 bienes {h ₁ , h ₂ , g ₁ , g ₂ , g ₃ } y 3 agentes con los siguientes valores (donde C es una constante grande yd es una constante positiva pequeña):

Agentes ↓ Bienes ⇒	h 1	h 2	g 1	g 2	g 3
A 1	C	C	1	1- d	1- d
A 2	C	C	1- d	1	1- d
A 3	C	C	1- d	1- d	1

Una asignación integral de producto máximo es {h ₁ }, {h ₂ }, {g ₁ , g ₂ , g ₃ }, con producto . No es fPO, ya que está dominado por una asignación fraccional: el agente 3 puede dar g ₁ al agente 1 (perdiendo la utilidad de 1 d ) a cambio de una fracción de h ₁ que ambos agentes valoran en 1 d / 2. Este comercio mejora estrictamente el bienestar de ambos agentes. Además, en cualquier asignación de OPF integral, existe un agente A _i que recibe solo (como máximo) el bien g _i ; de lo contrario, se puede realizar un intercambio similar. Por lo tanto, una asignación de fPO de producto máximo es {g${\displaystyle C^{2}\cdot (3-2d)}$₁ , h ₁ }, {g ₂ , h ₂ }, {g ₃ }, con producto . Cuando C es suficientemente grande y d es suficientemente pequeño, la relación del producto se aproxima a 1/3.${\displaystyle (C+1)^{2}}$

Eficiencia de Pareto ex ante

Cuando el proceso de decisión es aleatorio, como en una asignación aleatoria justa o una elección social aleatoria o una votación de aprobación fraccionada , existe una diferencia entre la eficiencia de Pareto ex post y ex ante :

• Ex-post Pareto-eficiencia significa que cualquier resultado del proceso aleatorio es Pareto eficiente.
• Pareto-eficiencia ex ante significa que la lotería determinada por el proceso es Pareto-eficiente con respecto a las utilidades esperadas . Es decir: ninguna otra lotería da una utilidad esperada más alta a un agente y al menos la utilidad esperada tan alta para todos los agentes.

Si alguna lotería L es educación física ex ante, entonces también es educación física ex post. Prueba : suponga que uno de los resultados ex post x de L está dominado por Pareto por algún otro resultado y . Luego, moviendo algunos de masa de probabilidad de x a y , se alcanza otra lotería L' que ex-ante Pareto-domina L .

Lo contrario no es cierto: la PE ex ante es más fuerte que la PE ex post. Por ejemplo, suponga que hay dos objetos: un automóvil y una casa. Alice valora el coche en 2 y la casa en 3; George valora el automóvil en 2 y la casa en 9. Considere las siguientes dos loterías:

1. Con probabilidad 1/2, dale el coche a Alice y la casa a George; de lo contrario, dale el coche a George y la casa a Alice. La utilidad esperada es (2/2 + 3/2) = 2.5 para Alice y (2/2 + 9/2) = 5.5 para George. Ambas asignaciones son EP ex post, ya que el que recibió el automóvil no puede mejorar sin dañar al que se quedó con la casa.
2. Con probabilidad 1, dale el coche a Alice. Luego, con una probabilidad de 1/3, entregue la casa a Alice, de lo contrario, entréguesela a George. La utilidad esperada es (2 + 3/3) = 3 para Alice y (9 * 2/3) = 6 para George. Una vez más, ambas asignaciones son PE ex post.

Si bien ambas loterías son EP ex-post, la lotería 1 no es EP ex ante, ya que está dominada por Pareto por la lotería 2.

Otro ejemplo se refiere a las preferencias dicotómicas . ^[12] Hay 5 resultados posibles (a, b, c, d, e) y 6 votantes. Los conjuntos de aprobación de los votantes son (ac, ad, ae, bc, bd, be). Los cinco resultados son educación física, por lo que cada lotería es educación física ex post. Pero la lotería que selecciona c, d, e con probabilidad 1/3 cada uno no es PE ex ante, ya que da una utilidad esperada de 1/3 a cada votante, mientras que la lotería que selecciona a, b con probabilidad 1/2 cada uno da una utilidad esperada de 1/2 para cada votante.

Eficiencia de Pareto aproximada

Dado algún ε > 0, un resultado se denomina ε -Pareto-eficiente si ningún otro resultado da a todos los agentes al menos la misma utilidad, y a un agente una utilidad al menos (1+ ε ) mayor. Esto captura la noción de que las mejoras menores que (1+ ε ) son insignificantes y no deben considerarse una violación de la eficiencia.

Pareto-eficiencia y maximización del bienestar

Ver también: división sin envidia pareto-eficiente

Suponga que a cada agente i se le asigna un peso positivo a _i . Para cada asignación x , defina el bienestar de x como la suma ponderada de las utilidades de todos los agentes en x , es decir:

${\displaystyle W_{a}(x):=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}(x)}$.

Sea x _a una asignación que maximiza el bienestar en todas las asignaciones, es decir:

${\displaystyle x_{a}\in \arg \max _{x}W_{a}(x)}$.

Es fácil demostrar que la asignación x _a es Pareto-eficiente: dado que todos los pesos son positivos, cualquier mejora de Pareto aumentaría la suma, contradiciendo la definición de x _a .

El economista neowalrasiano japonés Takashi Negishi demostró ^[13] que, bajo ciertos supuestos, lo contrario también es cierto: para cada asignación x Pareto eficiente , existe un vector positivo a tal que x maximiza W _a . Hal Varian proporciona una prueba más breve . ^[14]

Uso en ingeniería

La noción de eficiencia de Pareto se ha utilizado en ingeniería. ^{[15] : 111-148} Dado un conjunto de opciones y una forma de valorarlos, la frontera de Pareto o conjunto de Pareto o frente de Pareto es el conjunto de decisiones que son Pareto eficiente. Al restringir la atención al conjunto de opciones que son Pareto-eficientes, un diseñador puede hacer concesiones dentro de este conjunto, en lugar de considerar el rango completo de cada parámetro. ^{[16] : 63–65}

Ejemplo de una frontera de Pareto. Los puntos encuadrados representan opciones factibles y se prefieren los valores más pequeños a los más grandes. Punto C no está en la frontera de Pareto, ya que está dominada por tanto el punto A y el punto B . Los puntos A y B no están estrictamente dominados por ningún otro y, por lo tanto, se encuentran en la frontera.

Una frontera de posibilidades de producción . La línea roja es un ejemplo de una frontera Pareto-eficiente, donde la frontera y el área a la izquierda y debajo de ella son un conjunto continuo de opciones. Los puntos rojos en la frontera son ejemplos de elecciones de producción óptimas de Pareto. Los puntos fuera de la frontera, como N y K, no son Pareto-eficientes, ya que existen puntos en la frontera que los dominan Pareto.

Frontera de Pareto

Para un sistema dado, la frontera de Pareto o el conjunto de Pareto es el conjunto de parametrizaciones (asignaciones) que son todas Pareto eficientes. Encontrar las fronteras de Pareto es particularmente útil en ingeniería. Al ofrecer todas las soluciones potencialmente óptimas, un diseñador puede hacer concesiones específicas dentro de este conjunto restringido de parámetros, en lugar de tener que considerar todos los rangos de parámetros. ^{[17] : 399–412}

La frontera de Pareto, P ( Y ), puede describirse más formalmente como sigue. Considere un sistema con función , donde X es un conjunto compacto de decisiones factibles en el espacio métrico e Y es el conjunto factible de vectores criterio en , tal que .${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle Y=\{y\in \mathbb {R} ^{m}:\;y=f(x),x\in X\;\}}$

Suponemos que se conocen las direcciones preferidas de los valores de los criterios. Se prefiere un punto a (domina estrictamente) otro punto , escrito como . La frontera de Pareto se escribe así como:${\displaystyle y^{\prime \prime }\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle y^{\prime }\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle y^{\prime \prime }\succ y^{\prime }}$

${\displaystyle P(Y)=\{y^{\prime }\in Y:\;\{y^{\prime \prime }\in Y:\;y^{\prime \prime }\succ y^{\prime },y^{\prime }\neq y^{\prime \prime }\;\}=\emptyset \}.}$

Tasa marginal de sustitución

Un aspecto significativo de la frontera de Pareto en economía es que, en una asignación Pareto eficiente, la tasa marginal de sustitución es la misma para todos los consumidores. ^[18] Un enunciado formal puede derivarse considerando un sistema con m consumidores y n bienes, y una función de utilidad de cada consumidor como dónde es el vector de bienes, ambos para todo i . La restricción de viabilidad es para . Para encontrar la asignación óptima de Pareto, maximizamos el Lagrangiano :${\displaystyle z_{i}=f^{i}(x^{i})}$${\displaystyle x^{i}=(x_{1}^{i},x_{2}^{i},\ldots ,x_{n}^{i})}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}x_{j}^{i}=b_{j}}$${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle L_{i}((x_{j}^{k})_{k,j},(\lambda _{k})_{k},(\mu _{j})_{j})=f^{i}(x^{i})+\sum _{k=2}^{m}\lambda _{k}(z_{k}-f^{k}(x^{k}))+\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}\left(b_{j}-\sum _{k=1}^{m}x_{j}^{k}\right)}$

donde y son los vectores de multiplicadores. Tomando la derivada parcial de la función de Lagrange con respecto a cada bien para y y da el siguiente sistema de condiciones de primer orden:${\displaystyle (\lambda _{k})_{k}}$${\displaystyle (\mu _{j})_{j}}$${\displaystyle x_{j}^{k}}$${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$${\displaystyle k=1,\ldots ,m}$

${\displaystyle {\frac {\partial L_{i}}{\partial x_{j}^{i}}}=f_{x_{j}^{i}}^{1}-\mu _{j}=0{\text{ for }}j=1,\ldots ,n,}$

${\displaystyle {\frac {\partial L_{i}}{\partial x_{j}^{k}}}=-\lambda _{k}f_{x_{j}^{k}}^{i}-\mu _{j}=0{\text{ for }}k=2,\ldots ,m{\text{ and }}j=1,\ldots ,n,}$

donde denota la derivada parcial de con respecto a . Ahora, arregle cualquier y . La condición de primer orden anterior implica que${\displaystyle f_{x_{j}^{i}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{j}^{i}}$${\displaystyle k\neq i}$${\displaystyle j,s\in \{1,\ldots ,n\}}$

${\displaystyle {\frac {f_{x_{j}^{i}}^{i}}{f_{x_{s}^{i}}^{i}}}={\frac {\mu _{j}}{\mu _{s}}}={\frac {f_{x_{j}^{k}}^{k}}{f_{x_{s}^{k}}^{k}}}.}$

Por lo tanto, en una asignación óptima de Pareto, la tasa marginal de sustitución debe ser la misma para todos los consumidores. ^{[ cita requerida ]}

Cálculo

Los algoritmos para calcular la frontera de Pareto de un conjunto finito de alternativas se han estudiado en ciencias de la computación e ingeniería energética. ^[19] Incluyen:

• "El problema del vector máximo" o la consulta del horizonte . ^{[20] [21] [22]}
• "El algoritmo de escalarización" o el método de sumas ponderadas. ^{[23] [24]}
• "El método de las restricciones". ^{[25] [26]}${\displaystyle \epsilon }$

Uso en políticas públicas

La teoría microeconómica moderna se inspiró en gran medida en la eficiencia de Pareto. Dado que Pareto demostró que el equilibrio logrado mediante la competencia optimizaría la asignación de recursos, está corroborando efectivamente la noción de "mano invisible" de Adam Smith. Más específicamente, motivó el debate sobre el "socialismo de mercado" en la década de 1930. ^[2]

Uso en biología

La optimización de Pareto también se ha estudiado en procesos biológicos. ^{[27] : 87-102} En las bacterias, se demostró que los genes son económicos de fabricar (eficientes en el uso de recursos) o más fáciles de leer (traducción eficaz). La selección natural actúa para empujar genes altamente expresados ​​hacia la frontera de Pareto para el uso de recursos y la eficiencia de traducción. ^{[28] : 166–169} También se demostró que los genes cercanos a la frontera de Pareto evolucionan más lentamente (lo que indica que están proporcionando una ventaja selectiva). ^[29]

Conceptos erróneos comunes

Sería incorrecto tratar la eficiencia de Pareto como equivalente a la optimización social, ^{[30] : 358-364} ya que este último es un concepto normativo que es una cuestión de interpretación que típicamente explicaría la consecuencia de los grados de desigualdad de distribución. ^{[31] : 10–15} Un ejemplo sería la interpretación de un distrito escolar con bajos ingresos por impuestos a la propiedad frente a otro con ingresos mucho más altos como una señal de que se produce una distribución más equitativa con la ayuda de la redistribución del gobierno. ^{[32] : 95-132}

Crítica

Esta sección introducirá críticas desde las más radicales hasta las más moderadas.

Algunos comentaristas cuestionan que la eficiencia de Pareto podría potencialmente servir como una herramienta ideológica. Con esto implicando que el capitalismo se autorregula, es probable que los problemas estructurales implícitos, como el desempleo, sean tratados como desviados del equilibrio o la norma y, por lo tanto, desatendidos o descartados. ^[2]

La eficiencia de Pareto no requiere una distribución de la riqueza totalmente equitativa, que es otro aspecto que suscita críticas. ^{[33] : 222} Una economía en la que unos pocos ricos poseen la gran mayoría de los recursos.puede ser Pareto eficiente. Un ejemplo sencillo es la distribución de un pastel entre tres personas. La distribución más equitativa asignaría un tercio a cada persona. Sin embargo, la asignación de, digamos, media sección a cada uno de dos individuos y ninguna al tercero también es Pareto óptima a pesar de no ser equitativa, porque ninguno de los destinatarios podría mejorar sin disminuir la participación de otra persona; y hay muchos otros ejemplos de distribución de este tipo. Un ejemplo de una distribución ineficiente de Pareto del pastel sería la asignación de una cuarta parte del pastel a cada uno de los tres, con el resto descartado. ^{[34] : 18}

La paradoja liberal elaborada por Amartya Sen muestra que cuando las personas tienen preferencias sobre lo que hacen los demás, el objetivo de la eficiencia de Pareto puede entrar en conflicto con el objetivo de la libertad individual. ^{[35] : 92–94}

Por último, se propone que la eficiencia de Pareto inhibió hasta cierto punto la discusión de otros posibles criterios de eficiencia. Como argumenta el académico Lockhood, una posible razón es que cualquier otro criterio de eficiencia establecido en el dominio neoclásico se reducirá a la eficiencia de Pareto al final. ^[2]

Ver también

• Regla de decisión admisible , análoga en la teoría de la decisión
• Teorema de imposibilidad de Arrow
• Eficiencia bayesiana
• Teoremas fundamentales de la economía del bienestar
• Pérdida de peso muerto
• Eficiencia económica
• Máximo y mejor uso
• Eficiencia de Kaldor-Hicks
• Fallo de mercado , cuando un resultado de mercado no es óptimo de Pareto
• Elemento máximo , concepto en teoría del orden
• Máximos de un conjunto de puntos
• Optimización multiobjetivo
• División sin envidia pareto-eficiente
• Elección social y valores individuales para el 'principio (débil) de Pareto'
• TOTREP
• Economía del bienestar

Referencias

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Otras lecturas

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