La paradoja de Parrondo , una paradoja en la teoría de juegos , se ha descrito como: Una combinación de estrategias perdedoras se convierte en una estrategia ganadora . [1] Lleva el nombre de su creador, Juan Parrondo , quien descubrió la paradoja en 1996. Una descripción más explicativa es:
- Existen pares de juegos, cada uno con mayor probabilidad de perder que de ganar, para los cuales es posible construir una estrategia ganadora jugando los juegos alternativamente.
Parrondo ideó la paradoja en relación con su análisis del trinquete browniano , un experimento mental sobre una máquina que supuestamente puede extraer energía de movimientos de calor aleatorios popularizado por el físico Richard Feynman . Sin embargo, la paradoja desaparece cuando se analiza rigurosamente. [2] Las estrategias ganadoras que consisten en varias combinaciones de estrategias perdedoras fueron exploradas en biología antes de que se publicara la paradoja de Parrondo. [3] Más recientemente, los problemas de la biología evolutiva y la ecología se han modelado y explicado en términos de la paradoja. [4] [5]
Ejemplos ilustrativos
El ejemplo del diente de sierra
Considere un ejemplo en el que hay dos puntos A y B que tienen la misma altitud, como se muestra en la Figura 1. En el primer caso, tenemos un perfil plano que los conecta. Aquí, si dejamos algunas canicas redondas en el medio que se mueven hacia adelante y hacia atrás de manera aleatoria, rodarán aleatoriamente pero hacia ambos extremos con la misma probabilidad. Ahora considere el segundo caso en el que tenemos una región similar a un diente de sierra entre ellos. Aquí también, las canicas rodarán hacia ambos extremos con igual probabilidad (si hubiera una tendencia a moverse en una dirección, las canicas en un anillo de esta forma tenderían a extraer espontáneamente energía térmica para girar, violando la segunda ley de la termodinámica). Ahora bien, si nos inclinamos todo el perfil hacia la derecha, como se muestra en la Figura 2, es bastante claro que estos dos casos se convertirá sesgada hacia B .
Ahora considere el juego en el que alternamos los dos perfiles mientras elegimos juiciosamente el tiempo entre alternar de un perfil a otro.
Cuando dejamos unas cuantas canicas en el primer perfil en el punto E , que se distribuyen en la planta que muestra los movimientos preferenciales hacia el punto B . Sin embargo, si aplicamos el segundo perfil cuando algunas de las canicas han cruzado el punto C , pero ninguna ha cruzado el punto D , terminaremos teniendo la mayoría de las canicas en el punto E (donde partimos inicialmente) pero algunas también en el valle. hacia el punto A dado el tiempo suficiente para que las canicas rueden hacia el valle. Luego aplicamos nuevamente el primer perfil y repetimos los pasos (los puntos C , D y E ahora cambiaron un paso para referirse al valle final más cercano a A ). Si ninguna canica cruza el punto C antes de que la primera canica cruce el punto D , debemos aplicar el segundo perfil poco antes de que la primera canica cruce el punto D , para comenzar de nuevo.
Fácilmente se deduce que con el tiempo vamos a tener canicas en el punto A , pero ninguno en el punto B . Por lo tanto, si definimos tener canicas en el punto A como una victoria y tener canicas en el punto B como una pérdida, claramente ganamos alternando (en los momentos elegidos correctamente) entre jugar dos juegos perdedores.
El ejemplo del lanzamiento de una moneda
Un segundo ejemplo de la paradoja de Parrondo se extrae del campo de los juegos de azar. Considere jugar dos juegos, el Juego A y el Juego B con las siguientes reglas. Por conveniencia, definapara ser nuestra capital en el momento t , inmediatamente antes de jugar un juego.
- Ganar un juego nos hace ganar $ 1 y perder requiere que entreguemos $ 1. Resulta quesi ganamos en el paso t ysi perdemos en el paso t .
- En el Juego A , lanzamos una moneda sesgada, Moneda 1, con probabilidad de ganar. Si, este es claramente un juego perdedor a largo plazo.
- En el juego B , primero determinamos si nuestro capital es un múltiplo de algún número entero. Si es así, tiramos una moneda sesgada, Moneda 2, con probabilidad de ganar. Si no es así, tiramos otra moneda sesgada, la Moneda 3, con probabilidad de ganar. El papel del módulo proporciona la periodicidad como en los dientes de trinquete.
Está claro que al jugar el Juego A, es casi seguro que perderemos a largo plazo. Harmer y Abbott [1] muestran mediante simulación que si y El juego B es casi seguramente un juego perdedor también. De hecho, el Juego B es una cadena de Markov , y un análisis de su matriz de transición de estado (nuevamente con M = 3) muestra que la probabilidad de estado estable de usar la moneda 2 es 0.3836 y la de usar la moneda 3 es 0.6164. [6] Como la moneda 2 se selecciona casi el 40% de las veces, tiene una influencia desproporcionada en la recompensa del Juego B y resulta en un juego perdedor.
Sin embargo, cuando estos dos juegos perdedores se juegan en una secuencia alterna, por ejemplo, dos juegos de A seguidos de dos juegos de B (AABBAABB ...), la combinación de los dos juegos es, paradójicamente, un juego ganador . No todas las secuencias alternas de A y B dan como resultado juegos ganadores. Por ejemplo, un juego de A seguido de un juego de B (ABABAB ...) es un juego perdedor, mientras que un juego de A seguido de dos juegos de B (ABBABB ...) es un juego ganador. Este ejemplo de lanzamiento de moneda se ha convertido en la ilustración canónica de la paradoja de Parrondo: dos juegos, ambos perdidos cuando se juegan individualmente, se convierten en un juego ganador cuando se juegan en una secuencia alterna particular.
Resolviendo la paradoja
La aparente paradoja se ha explicado utilizando un número de enfoques sofisticados, incluyendo cadenas de Markov, [7] intermitentes trinquetes, [8] recocido simulado , [9] y teoría de la información. [10] Una forma de explicar la aparente paradoja es la siguiente:
- Si bien el Juego B es un juego perdedor bajo la distribución de probabilidad que resulta para modulo cuando se juega individualmente ( modulo es el resto cuando está dividido por ), puede ser un juego ganador con otras distribuciones, ya que hay al menos un estado en el que su expectativa es positiva.
- Como la distribución de los resultados del Juego B depende del capital del jugador, los dos juegos no pueden ser independientes. Si lo fueran, jugarlos en cualquier secuencia también perdería.
El rol de ahora entra en un enfoque nítido. Sirve únicamente para inducir una dependencia entre los Juegos A y B, de modo que es más probable que un jugador entre en estados en los que el Juego B tiene una expectativa positiva, lo que le permite superar las pérdidas del Juego A. Con este entendimiento, la paradoja se resuelve por sí sola. : Los juegos individuales solo pierden bajo una distribución que difiere de la que se encuentra realmente cuando se juega el juego compuesto. En resumen, la paradoja de Parrondo es un ejemplo de cómo la dependencia puede causar estragos en los cálculos probabilísticos realizados bajo un supuesto ingenuo de independencia. Se puede encontrar una exposición más detallada de este punto, junto con varios ejemplos relacionados, en Philips y Feldman. [11]
Un ejemplo simplificado
Para un ejemplo más simple de cómo y por qué funciona la paradoja, considere nuevamente dos juegos, el Juego A y el Juego B , esta vez con las siguientes reglas:
- En el Juego A , simplemente pierde $ 1 cada vez que juega.
- En el Juego B , cuentas cuánto dinero te queda ; si es un número par, ganas $ 3, de lo contrario pierdes $ 5.
Digamos que comienza con $ 100 en su bolsillo. Si comienza a jugar el Juego A exclusivamente, obviamente perderá todo su dinero en 100 rondas. Del mismo modo, si decide jugar exclusivamente al Juego B, también perderá todo su dinero en 100 rondas.
Sin embargo, considere jugar los juegos alternativamente, comenzando con el Juego B, seguido por A, luego por B, y así sucesivamente (BABABA ...). Debería ser fácil ver que ganará constantemente un total de $ 2 por cada dos juegos.
Por lo tanto, aunque cada juego es una propuesta perdedora si se juega solo, debido a que los resultados del Juego B se ven afectados por el Juego A, la secuencia en la que se juegan los juegos puede afectar la frecuencia con la que el Juego B le genera dinero y, posteriormente, el resultado es diferente. del caso en el que cualquiera de los juegos se juega solo.
Aplicaciones
La paradoja de Parrondo se utiliza ampliamente en la teoría de juegos, y su aplicación a la ingeniería, la dinámica de poblaciones, [3] riesgo financiero, etc., son áreas de investigación activa. Los juegos de Parrondo tienen poco uso práctico, como para invertir en mercados de valores [12], ya que los juegos originales requieren que la recompensa de al menos uno de los juegos interactivos dependa del capital del jugador. Sin embargo, los juegos no tienen por qué limitarse a su forma original y se sigue trabajando para generalizar el fenómeno. Se han señalado similitudes con el bombeo de volatilidad y el problema de las dos envolventes [13] . Se han utilizado modelos simples de libros de texto de finanzas sobre los rendimientos de los valores para demostrar que las inversiones individuales con rendimientos medios negativos a largo plazo pueden combinarse fácilmente en carteras diversificadas con rendimientos medios positivos a largo plazo. [14] De manera similar, un modelo que se utiliza a menudo para ilustrar las reglas de apuestas óptimas se ha utilizado para demostrar que dividir las apuestas entre varios juegos puede convertir una rentabilidad media negativa a largo plazo en positiva. [15] En biología evolutiva, tanto la variación de fase aleatoria bacteriana [16] como la evolución de sensores menos precisos [4] se han modelado y explicado en términos de la paradoja. En ecología, la alternancia periódica de ciertos organismos entre comportamientos nómadas y coloniales se ha sugerido como una manifestación de la paradoja. [5] Ha habido una aplicación interesante en el modelado de la supervivencia multicelular como consecuencia de la paradoja [17] y una discusión interesante sobre la viabilidad de la misma. [18] [19] Las aplicaciones de la paradoja de Parrondo también se pueden encontrar en la teoría de la confiabilidad. [20] Los lectores interesados pueden consultar los tres artículos de revisión que se han publicado a lo largo de los años, [21] [22] y el más reciente examina el efecto Parrondo en la biología. [23]
Nombre
En la literatura temprana sobre la paradoja de Parrondo, se debatió si la palabra 'paradoja' es una descripción apropiada dado que el efecto Parrondo puede entenderse en términos matemáticos. El efecto "paradójico" se puede explicar matemáticamente en términos de una combinación lineal convexa.
Sin embargo, Derek Abbott , un investigador líder en el tema, proporciona la siguiente respuesta con respecto al uso de la palabra 'paradoja' en este contexto:
¿Es la paradoja de Parrondo realmente una "paradoja"? A veces, los matemáticos hacen esta pregunta, mientras que los físicos generalmente no se preocupan por esas cosas. Lo primero que hay que señalar es que la "paradoja de Parrondo" es solo un nombre, al igual que la " paradoja de Braess " o la " paradoja de Simpson ". En segundo lugar, como es el caso de la mayoría de estas paradojas nombradas, todas son paradojas realmente aparentes. La gente deja caer la palabra "aparente" en estos casos, ya que es un bocado, y es obvio de todos modos. Por tanto, nadie afirma que se trate de paradojas en sentido estricto. En un sentido amplio, una paradoja es simplemente algo contradictorio. Los juegos de Parrondo ciertamente son contrarios a la intuición, al menos hasta que los haya estudiado intensamente durante unos meses. La verdad es que seguimos encontrando cosas nuevas y sorprendentes que nos encantarán a medida que investigamos estos juegos. Un matemático se ha quejado de que los juegos siempre fueron obvios para él y, por lo tanto, no deberíamos usar la palabra "paradoja". O es un genio o nunca lo entendió realmente en primer lugar. En cualquier caso, no vale la pena discutir con gente así. [24]
Ver también
Referencias
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Otras lecturas
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enlaces externos
- JMR Parrondo, los juegos paradójicos de Parrondo
- Perfiles de Google Scholar de la paradoja de Parrondo
- Artículo de Nature News sobre la paradoja de Parrondo
- El juego alternativo aumenta las ganancias: es la ley
- Página oficial de la paradoja de Parrondo
- La paradoja de Parrondo: una simulación
- El mago de las probabilidades sobre la paradoja de Parrondo
- La paradoja de Parrondo en Futility Closet
- La paradoja de Parrondo en Wolfram
- Simulador de Parrondo en línea
- La paradoja de Parrondo en Maplesoft
- Donald Catlin sobre la paradoja de Parrondo
- La paradoja de Parrondo y el póquer
- Paradoja y epistemología de Parrondo
- El recurso de la paradoja de Parrondo
- Estrategias adaptativas óptimas y Parrondo
- Behrends en Parrondo
- Dios no tira a los dados
- La paradoja de Parrondo en química
- La paradoja de Parrondo en genética
- Efecto Parrondo en mecánica cuántica
- Diversificación financiera y Parrondo