En matemáticas , una partición de un intervalo [ a , b ] en la línea real es una secuencia finita x 0 , x 1 , x 2 , ..., x n de números reales tal que
- a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b .
En otros términos, una partición de un compacto intervalo I es una secuencia estrictamente creciente de números (que pertenecen al intervalo I en sí) a partir del punto inicial de I y llegando en el punto final de I .
Cada intervalo de la forma [ x i , x i + 1 ] se denomina subintervalo de la partición x .
Refinamiento de una partición
Otra partición Q del intervalo dado [a, b] se define como un refinamiento de la partición P , si Q contiene todos los puntos de P y posiblemente también algunos otros puntos; la partición Q se dice que es “más fino” de P . Dadas dos particiones, P y Q , siempre se puede formar su refinamiento común , denotado P ∨ Q , que consta de todos los puntos de P y Q , en orden creciente. [1]
Norma de una partición
La norma (o malla ) de la partición.
- x 0 < x 1 < x 2 <... < x n
es la longitud del más largo de estos subintervalos [2] [3]
- max {| x i - x i −1 | : i = 1, ..., n }.
Aplicaciones
Las particiones se utilizan en la teoría de la integral de Riemann , la integral de Riemann-Stieltjes y la integral regulada . Específicamente, cuando se consideran particiones más finas de un intervalo dado, su malla se aproxima a cero y la suma de Riemann basada en una partición dada se aproxima a la integral de Riemann . [4]
Particiones etiquetadas
Una partición etiquetada [5] es una partición de un intervalo dado junto con una secuencia finita de números t 0 , ..., t n - 1 sujeto a las condiciones que para cada i ,
- x yo ≤ t yo ≤ x yo + 1 .
En otras palabras, una partición etiquetada es una partición junto con un punto distinguido de cada subintervalo: su malla se define de la misma manera que para una partición ordinaria. Es posible definir un orden parcial en el conjunto de todas las particiones etiquetadas diciendo que una partición etiquetada es más grande que otra si la más grande es un refinamiento de la más pequeña. [ cita requerida ]
Suponga que x 0 , ..., x n junto con t 0 , ..., t n - 1 es una partición etiquetada de [ a , b ] , y que y 0 , ..., y m junto con s 0 , ..., s m - 1 es otra partición etiquetada de [ a , b ] . Decimos que y 0 , ..., y m junto con s 0 , ..., s m - 1 es un refinamiento de una partición etiquetada x 0 , ..., x n junto con t 0 , ..., t n - 1 si para cada entero i con 0 ≤ i ≤ n , hay un entero r ( i ) tal que x i = y r ( i ) y tal que t i = s j para algunos j con r ( i ) ≤ j ≤ r ( i + 1) - 1 . Dicho de manera más simple, un refinamiento de una partición etiquetada toma la partición inicial y agrega más etiquetas, pero no quita ninguna.
Ver también
Referencias
- ^ Brannan, DA (2006). Un primer curso de análisis matemático . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 262. ISBN 9781139458955.
- ^ Hijab, Omar (2011). Introducción al cálculo y análisis clásico . Saltador. pag. 60. ISBN 9781441994882.
- ^ Zorich, Vladimir A. (2004). Análisis matemático II . Saltador. pag. 108. ISBN 9783540406334.
- ^ Ghorpade, Sudhir; Limaye, Balmohan (2006). Un curso de cálculo y análisis real . Saltador. pag. 213. ISBN 9780387364254.
- ^ Dudley, Richard M .; Norvaiša, Rimas (2010). Cálculo funcional concreto . Saltador. pag. 2. ISBN 9781441969507.
Otras lecturas
- Gordon, Russell A. (1994). Las integrales de Lebesgue, Denjoy, Perron y Henstock . Estudios de Posgrado en Matemáticas , 4. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3805-9.