En matemáticas , la regla de Pascal (o fórmula de Pascal ) es una identidad combinatoria sobre coeficientes binomiales . Afirma que para números naturales positivos n y k ,
dónde es un coeficiente binomial; una interpretación de cuál es el coeficiente del término x k en la expansión de (1 + x ) n . No hay restricción sobre los tamaños relativos de n y k , [1] ya que, si n < k el valor del coeficiente binomial es cero y la identidad sigue siendo válida.
La regla de Pascal también puede verse como una afirmación de que la fórmula
resuelve la ecuación de diferencia lineal bidimensional
sobre los números naturales. Por lo tanto, la regla de Pascal es también una declaración sobre una fórmula para los números que aparecen en el triángulo de Pascal .
La regla de Pascal también se puede generalizar para aplicarla a coeficientes multinomiales .
La regla de Pascal tiene un significado combinatorio intuitivo, que se expresa claramente en esta prueba de conteo. [2]
Prueba . Recordar quees igual al número de subconjuntos con k elementos de un conjunto con n elementos. Supongamos que un elemento en particular está etiquetado de forma única como X en un conjunto con n elementos.
Para construir un subconjunto de k elementos que contengan X , incluya X y elija k - 1 elementos de los n - 1 elementos restantes del conjunto. Existen tales subconjuntos.
Para construir un subconjunto de k elementos que no contengan X , elija k elementos de los n - 1 elementos restantes del conjunto. Existen tales subconjuntos.
Cada subconjunto de k elementos contiene X o no. El número total de subconjuntos con k elementos en un conjunto de n elementos es la suma del número de subconjuntos que contienen X y el número de subconjuntos que no contienen X ,.
Esto es igual ; por lo tanto,.
Alternativamente, sigue la derivación algebraica del caso binomial.
La regla de Pascal se puede generalizar a coeficientes multinomiales. [3] Para cualquier entero p tal que, y ,
dónde es el coeficiente de la término en la expansión de .
La derivación algebraica para este caso general es la siguiente. [3] Sea p un número entero tal que, y . Luego
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