La estadística de fotones es el estudio teórico y experimental de las distribuciones estadísticas producidas en experimentos de conteo de fotones , que utilizan fotodetectores para analizar la naturaleza estadística intrínseca de los fotones en una fuente de luz. En estos experimentos, la luz que incide en el fotodetector genera fotoelectrones y un contador registra pulsos eléctricos generando una distribución estadística de los recuentos de fotones. Las fuentes de luz dispares de baja intensidad se pueden diferenciar mediante las distribuciones estadísticas correspondientes producidas en el proceso de detección.
Se pueden obtener tres regímenes de distribuciones estadísticas dependiendo de las propiedades de la fuente de luz: poissoniano , superpoissoniano y subpoissoniano. [1] Los regímenes se definen por la relación entre la varianza y el número medio de recuentos de fotones para la distribución correspondiente. Tanto la luz poissoniana como la superpoissoniana pueden describirse mediante una teoría semiclásica en la que la fuente de luz se modela como una onda electromagnética y el átomo se modela de acuerdo con la mecánica cuántica. Por el contrario, la luz subpoissoniana requiere la cuantificación del campo electromagnético para una descripción adecuada y, por lo tanto, es una medida directa de la naturaleza de las partículas de la luz.
Luz Poissoniana
En la teoría electromagnética clásica, una fuente ideal de luz con intensidad constante puede modelarse mediante una onda electromagnética coherente espacial y temporalmente de una sola frecuencia. Una fuente de luz de este tipo puede modelarse mediante, [1]
dónde es la frecuencia del campo y es un cambio de fase independiente del tiempo.
El análogo en mecánica cuántica es el estado coherente [1]
Proyectando el estado coherente en el estado de Fock , podemos encontrar la probabilidad de encontrar fotones usando la regla de Born , que da
El resultado anterior es una distribución de Poisson con que es una característica distintiva del estado coherente.
Luz superpoissoniana
La luz que se rige por estadísticas superpoissonianas exhibe una distribución estadística con varianza . Un ejemplo de luz que exhibe estadísticas superpoissonianas es la luz térmica . La intensidad de la luz térmica fluctúa aleatoriamente y las fluctuaciones dan lugar a estadísticas superpoissonianas, como se muestra a continuación al calcular la distribución de las fluctuaciones de intensidad. [2] Utilizando la distribución de intensidad junto con la fórmula de Mandel [3] que describe la probabilidad del número de recuentos de fotones registrados por un fotodetector, se puede obtener la distribución estadística de fotones en la luz térmica.
La luz térmica se puede modelar como una colección de osciladores armónicos. Supongamos que-th oscilador emite un campo electromagnético con fase . Usando la teoría de la superposición de campos, el campo total producido por el osciladores es
Después de extraer todas las variables que son independientes del índice de suma , una amplitud compleja aleatoria se puede definir por
dónde fue reescrito en términos de su magnitud y su fase . Debido a que los osciladores no están correlacionados, la fase del campo superpuesto será aleatoria. Por tanto, la amplitud complejaes una variable estocástica. Representa la suma de las fases no correlacionadas de los osciladores que modela las fluctuaciones de intensidad en la luz térmica. En el plano complejo, representa un caminante aleatorio bidimensional conrepresentando los pasos dados. Para grandeun caminante aleatorio tiene una distribución de probabilidad gaussiana . Por lo tanto, la distribución de probabilidad conjunta para las partes real e imaginaria de la variable aleatoria compleja se puede representar como,
Después pasos, el valor esperado del radio al cuadrado es . El valor esperadoque puede pensarse que todas las direcciones son igualmente probables. Reescribiendo la distribución de probabilidad en términos de resultados en
Con la distribución de probabilidad anterior, ahora podemos encontrar la intensidad promedio del campo (donde se han omitido varias constantes para mayor claridad)
La intensidad instantánea del campo. es dado por
Porque el campo eléctrico y por lo tanto la intensidad dependen de la variable del complejo estocástico . La probabilidad de obtener una intensidad entre y es
dónde es el elemento infinitesimal en el plano complejo. Este elemento infinitesimal se puede reescribir como
La distribución de intensidad anterior ahora se puede escribir como
Esta última expresión representa la distribución de intensidad de la luz térmica. El último paso para mostrar que la luz térmica satisface la condición de varianza para las estadísticas de super-Poisson es usar la fórmula de Mandel. [3] La fórmula describe la probabilidad de observar n recuentos de fotones y está dada por
El factor dónde es la eficiencia cuántica describe la eficiencia del contador de fotones. Un detector perfecto habría. es la intensidad incidente en un área A del fotodetector y viene dada por [4]
Al sustituir la distribución de probabilidad de intensidad de la luz térmica por P (I), la fórmula de Mandel se convierte en
Usando la siguiente fórmula para evaluar la integral
La distribución de probabilidad para n recuentos de fotones de una fuente de luz térmica es
dónde es el número medio de recuentos. Esta última distribución se conoce como distribución de Bose-Einstein. Se puede demostrar que la varianza de la distribución es
En contraste con la distribución de Poisson para una fuente de luz coherente, la distribución de Bose-Einstein tiene característica de la luz térmica.
Luz subpoissoniana
La luz que se rige por las estadísticas sub-Poisson no puede describirse mediante la teoría electromagnética clásica y está definida por . [1] La llegada de los fotodetectores ultrarrápidos ha hecho posible medir la naturaleza subpoissoniana de la luz. Un ejemplo de luz que exhibe estadísticas subpoissonianas es la luz comprimida. Recientemente, investigadores han demostrado que la luz subpoissoniana se puede inducir en un punto cuántico que exhibe fluorescencia de resonancia. [5] Una técnica utilizada para medir la estructura subpoissoniana de la luz es un esquema de correlación de intensidad homodina. [6] En este esquema, un oscilador local y un campo de señal se superponen mediante un divisor de haz. La luz superpuesta es luego dividida por otro divisor de haz y cada señal es registrada por fotodetectores individuales conectados al correlador desde el cual se puede medir la correlación de intensidad. La evidencia de la naturaleza subpoissoniana de la luz se muestra al obtener una correlación de intensidad negativa como se muestra en. [5]
Referencias
- ^ a b c d M. Fox, Óptica cuántica: una introducción , Oxford University Press, Nueva York, 2006
- ^ I. Deutsch, Curso de óptica cuántica otoño de 2015, http://info.phys.unm.edu/~ideutsch/Classes/Phys566F15/Lectures/Phys566_Lect02.pdf . Consultado el 9 de diciembre de 2015.
- ↑ a b Mandel, L (1 de septiembre de 1959). "Fluctuaciones de los haces de fotones: la distribución de los fotoelectrones". Actas de la Sociedad de Física . Publicación de IOP. 74 (3): 233–243. doi : 10.1088 / 0370-1328 / 74/3/301 . ISSN 0370-1328 .
- ^ JW Goodman, Óptica estadística , Wiley, Nueva York, (1985) 238-256, 466-468
- ^ a b Schulte, Carsten HH; Hansom, Jack; Jones, Alex E .; Matthiesen, Clemens; Le Gall, Claire; Atatüre, Mete (31 de agosto de 2015). "Fotones exprimidos en cuadratura de un sistema de dos niveles". Naturaleza . Springer Science and Business Media LLC. 525 (7568): 222–225. arXiv : 1506.06827 . doi : 10.1038 / nature14868 . ISSN 0028-0836 .
- ^ Vogel, Werner (1 de mayo de 1995). "Medidas de correlación homodina con osciladores locales débiles". Physical Review A . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 51 (5): 4160–4171. doi : 10.1103 / physreva.51.4160 . ISSN 1050-2947 .