El teorema de Pickands-Balkema-De Haan a menudo se denomina segundo teorema en la teoría de valores extremos . Da la distribución de cola asintótica de una variable aleatoria X , cuando se desconoce la verdadera distribución F de X. A diferencia del primer teorema (el teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko ) en la teoría de valores extremos, el interés aquí está en los valores por encima de un umbral.
Función de distribución de exceso condicional
Si consideramos una función de distribución desconocida de una variable aleatoria , nos interesa estimar la función de distribución condicional de la variable por encima de un cierto umbral . Esta es la llamada función de distribución de exceso condicional, definida como
por , dónde es el extremo derecho finito o infinito de la distribución subyacente . La función describe la distribución del valor excedente sobre un umbral , dado que se supera el umbral.
Declaración
Dejar ser una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas , y dejarsea su función de distribución de exceso condicional. Pickands (1975), Balkema y De Haan (1974) plantearon que para una gran clase de funciones de distribución subyacentes, y largo , se aproxima bien por la distribución de Pareto generalizada . Es decir:
dónde
- , Si
- , Si
Aquí σ > 0, yy ≥ 0 cuando k ≥ 0 y 0 ≤ y ≤ - σ / k cuando k <0. Dado que un caso especial de la distribución de Pareto generalizada es una ley de potencias, el teorema de Pickands-Balkema-De Haan a veces se utiliza para justificar el uso de una ley de potencias para modelar eventos extremos. Aún así, muchas distribuciones importantes, como las distribuciones normal y logarítmica normal, no tienen colas de valores extremos que sean asintóticamente según la ley de potencias.
Casos especiales de distribución de Pareto generalizada
- Distribución exponencial con media , si k = 0.
- Distribución uniforme en, si k = -1.
- Distribución de Pareto , si k > 0.
Temas relacionados
Referencias
- Balkema, A. y De Haan, L. (1974). "Tiempo de vida residual a gran edad", Annals of Probability , 2 , 792–804.
- Pickands, J. (1975). "Inferencia estadística utilizando estadísticas de orden extremo", Annals of Statistics , 3 , 119-131.