Proceso de puntos

En estadística y teoría de la probabilidad , un proceso puntual o campo puntual es una colección de puntos matemáticos ubicados aleatoriamente en algún espacio matemático subyacente como la línea real, el plano cartesiano o espacios más abstractos. Los procesos puntuales se pueden utilizar como modelos matemáticos de fenómenos u objetos representables como puntos en algún tipo de espacio.

Existen diferentes interpretaciones matemáticas de un proceso puntual, como una medida de conteo aleatoria o un conjunto aleatorio. ^{[1] [2]} Algunos autores consideran un proceso puntual y un proceso estocástico como dos objetos diferentes, de modo que un proceso puntual es un objeto aleatorio que surge de un proceso estocástico o está asociado con él, ^{[3] [4]} aunque se ha señalado que la diferencia entre procesos puntuales y procesos estocásticos no está clara. ^[4] Otros consideran un proceso puntual como un proceso estocástico, donde el proceso está indexado por conjuntos del espacio subyacente ^[a] en el que está definido, como la línea real o el espacio euclidiano dimensional. ^{[7] [8]}${\displaystyle n}$ Otros procesos estocásticos como los procesos de renovación y conteo se estudian en la teoría de procesos puntuales. ^{[9] [4]} A veces no se prefiere el término "proceso puntual", ya que históricamente la palabra "proceso" denotaba una evolución de algún sistema en el tiempo, por lo que el proceso puntual también se denomina campo puntual aleatorio. ^[10]

Los procesos puntuales son objetos bien estudiados en la teoría de la probabilidad ^{[11] [12]} y el tema de poderosas herramientas en estadística para modelar y analizar datos espaciales , ^{[13] [14]} que es de interés en disciplinas tan diversas como la silvicultura, la ecología vegetal, epidemiología, geografía, sismología, ciencia de materiales, astronomía, telecomunicaciones, neurociencia computacional, ^[15] economía ^[16] y otros.

Los procesos puntuales en la línea real forman un caso especial importante que es particularmente susceptible de estudio, ^[17] porque los puntos están ordenados de forma natural, y todo el proceso puntual puede describirse completamente mediante los intervalos (aleatorios) entre los puntos. Estos procesos puntuales se utilizan con frecuencia como modelos para eventos aleatorios en el tiempo, como la llegada de clientes en una cola ( teoría de las colas ), de impulsos en una neurona ( neurociencia computacional ), partículas en un contador Geiger , ubicación de estaciones de radio en un red de telecomunicaciones ^[18] o de búsquedas en Internet .

Teoría general del proceso puntual

En matemáticas, un proceso de punto es un elemento aleatorio cuyos valores son "patrones Point" de un conjunto S . Si bien en la definición matemática exacta un patrón de puntos se especifica como una medida de conteo localmente finita , es suficiente para propósitos más aplicados pensar en un patrón de puntos como un subconjunto contable de S que no tiene puntos límite . ^{[ aclaración necesaria ]}

Definición

Para definir procesos puntuales generales, comenzamos con un espacio de probabilidad y un espacio medible donde hay un segundo espacio de Hausdorff contable localmente compacto y es su σ-álgebra de Borel . Considere ahora un kernel finito localmente valorado en números enteros desde dentro , es decir, un mapeo tal que:${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$${\displaystyle \Omega \times {\mathcal {S}}\mapsto \mathbb {Z} _{+}}$

1. Para cada , hay una medida localmente finita en . ^{[ aclaración necesaria ]}${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \xi (\omega ,\cdot )}$${\displaystyle S}$
2. Para cada , hay una variable aleatoria .${\displaystyle B\in {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \xi (\cdot ,B):\Omega \mapsto \mathbb {Z} _{+}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$

Este núcleo define una medida aleatoria de la siguiente manera. Nos gustaría pensar en la definición de un mapeo que se asigna a una medida (es decir, ), donde está el conjunto de todas las medidas localmente finitas en . Ahora, para que este mapeo sea medible, necesitamos definir un -field over . Este campo se construye como el álgebra mínima para que todos los mapas de evaluación de la forma , donde sea relativamente compacto , sean medibles. Equipado con este campo, hay un elemento aleatorio, donde para cada , hay una medida localmente finita .${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \xi _{\omega }\in {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$${\displaystyle \Omega \mapsto {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \pi _{B}:\mu \mapsto \mu (B)}$${\displaystyle B\in {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \xi _{\omega }}$${\displaystyle S}$

Ahora, por un proceso puntual en simplemente nos referimos a una medida aleatoria de valor entero (o equivalentemente, kernel de valor entero) construido como arriba. El ejemplo más común para el espacio de estados S es el espacio euclidiano R ⁿ o un subconjunto del mismo, donde un caso especial particularmente interesante es dado por la media línea real [0, ∞). Sin embargo, los procesos de punto no se limitan a estos ejemplos y pueden entre otras cosas también se puede utilizar si los puntos son en sí mismos subconjuntos compactos de R ⁿ , en cuyo caso ξ que normalmente se conoce como un proceso de partícula .${\displaystyle S}$${\displaystyle \xi }$

Se ha observado ^{[ cita requerida ]} que el término proceso puntual no es muy bueno si S no es un subconjunto de la línea real, ya que podría sugerir que ξ es un proceso estocástico . Sin embargo, el término está bien establecido y es indiscutible incluso en el caso general.

Representación

Cada instancia (o evento) de un proceso puntual ξ se puede representar como

${\displaystyle \xi =\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}},}$

donde denota la medida de Dirac , n es una variable aleatoria de valor entero y son elementos aleatorios de S . Si es casi seguro que son distintos (o de manera equivalente, casi seguro para todos ), entonces el proceso de puntos se conoce como simple .${\displaystyle \delta }$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \xi (x)\leq 1}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$

Otra representación diferente pero útil de un evento (un evento en el espacio de eventos, es decir, una serie de puntos) es la notación de conteo, donde cada instancia se representa como una función, una función continua que toma valores enteros ::${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle N:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {Z} ^{+}}}$

${\displaystyle N(t_{1},t_{2})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\xi (t)dt}$

que es el número de eventos en el intervalo de observación . A veces se denota por y o significa .${\displaystyle (t_{1},t_{2}]}$${\displaystyle N_{t_{1},t_{2}}}$${\displaystyle N_{T}}$${\displaystyle N(T)}$${\displaystyle N_{0,T}}$

Medida de expectativa

Artículo principal: Medida de intensidad

La medida expectativa Eξ (también conocido como medida media ) de un ξ proceso de punto es una medida en S que asigna a cada Borel subconjunto B de S el número esperado de puntos de ξ en B . Eso es,

${\displaystyle E\xi (B):=E{\bigl (}\xi (B){\bigr )}\quad {\text{for every }}B\in {\mathcal {B}}.}$

Laplace funcional

La funcional de Laplace de un proceso puntual N es un mapa del conjunto de todas las funciones de valor positivo f en el espacio de estados de N , que se definen de la siguiente manera:${\displaystyle \Psi _{N}(f)}$${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle \Psi _{N}(f)=E[\exp(-N(f))]}$

Desempeñan un papel similar al de las funciones características de la variable aleatoria . Un teorema importante dice que: dos procesos puntuales tienen la misma ley si sus funcionales de Laplace son iguales.

Medida de momento

Artículo principal: medida del momento

La potencia de un proceso puntual se define en el espacio del producto de la siguiente manera:${\displaystyle n}$${\displaystyle \xi ^{n},}$${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle \xi ^{n}(A_{1}\times \cdots \times A_{n})=\prod _{i=1}^{n}\xi (A_{i})}$

Por el teorema de clase monótona , esto define de forma única la medida producto en La expectativa es llamado el XX medida momento . La medida del primer momento es la medida media.${\displaystyle (S^{n},B(S^{n})).}$${\displaystyle E\xi ^{n}(\cdot )}$${\displaystyle n}$

Deja . Las intensidades conjuntas de un proceso puntual con la medida de Lebesgue son funciones tales que para cualquier subconjunto de Borel acotado disjunto${\displaystyle S=\mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \rho ^{(k)}:(\mathbb {R} ^{d})^{k}\to [0,\infty )}$${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}}$

${\displaystyle E\left(\prod _{i}\xi (B_{i})\right)=\int _{B_{1}\times \cdots \times B_{k}}\rho ^{(k)}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,dx_{1}\cdots dx_{k}.}$

No siempre existen intensidades conjuntas para procesos puntuales. Dado que los momentos de una variable aleatoria determinan la variable aleatoria en muchos casos, se espera un resultado similar para las intensidades conjuntas. De hecho, esto se ha demostrado en muchos casos. ^[12]

Estacionariedad

Se dice que un proceso puntual es estacionario si tiene la misma distribución que para todos. Para un proceso puntual estacionario, la medida media de alguna constante y donde representa la medida de Lebesgue. A esto se le llama la intensidad del proceso puntual. Un proceso de punto estacionario tiene casi seguramente 0 o un número infinito de puntos en total. Para obtener más información sobre los procesos de puntos estacionarios y la medida aleatoria, consulte el Capítulo 12 de Daley & Vere-Jones. ^[12] Se ha definido y estudiado la estacionariedad para procesos puntuales en espacios más generales que .${\displaystyle \xi \subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \xi +x:=\sum _{i=1}^{N}\delta _{X_{i}+x}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}.}$${\displaystyle E\xi (\cdot )=\lambda \|\cdot \|}$${\displaystyle \lambda \geq 0}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Ejemplos de procesos puntuales

Veremos algunos ejemplos de procesos puntuales en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$

Proceso de punto de Poisson

Artículo principal: proceso de punto de Poisson

El ejemplo más simple y ubicuo de un proceso de puntos es el proceso de puntos de Poisson , que es una generalización espacial del proceso de Poisson . Un proceso de Poisson (conteo) en la línea se puede caracterizar por dos propiedades: el número de puntos (o eventos) en intervalos disjuntos son independientes y tienen una distribución de Poisson . También se puede definir un proceso de punto de Poisson utilizando estas dos propiedades. Es decir, decimos que un proceso puntual es un proceso puntual de Poisson si se cumplen las siguientes dos condiciones${\displaystyle \xi }$

1) son independientes para subconjuntos disjuntos${\displaystyle \xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})}$${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}.}$

2) Para cualquier subconjunto acotado , tiene una distribución de Poisson con parámetro donde denota la medida de Lebesgue .${\displaystyle B}$${\displaystyle \xi (B)}$${\displaystyle \lambda \|B\|,}$${\displaystyle \|\cdot \|}$

Las dos condiciones se pueden combinar y escribir de la siguiente manera: Para cualquier subconjunto acotado disjunto y enteros no negativos tenemos que${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$

${\displaystyle \Pr[\xi (B_{i})=k_{i},1\leq i\leq n]=\prod _{i}e^{-\lambda \|B_{i}\|}{\frac {(\lambda \|B_{i}\|)^{k_{i}}}{k_{i}!}}.}$

La constante se llama intensidad del proceso de puntos de Poisson. Tenga en cuenta que el proceso de punto de Poisson se caracteriza por un solo parámetro. Es un proceso de punto estacionario simple. Para ser más específico, uno llama al proceso de puntos anterior un proceso homogéneo de puntos de Poisson. Un proceso de Poisson no homogéneo se define como anteriormente, pero reemplazando con where es una función no negativa en${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda .}$${\displaystyle \lambda \|B\|}$${\displaystyle {\stackrel {}{}}\int _{B}\lambda (x)\,dx}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$

Proceso de puntos de Cox

Un proceso de Cox (llamado así por Sir David Cox ) es una generalización del proceso de puntos de Poisson, en el que usamos medidas aleatorias en lugar de . Más formalmente, sea ​​una medida aleatoria . Un proceso de puntos de Cox impulsado por la medida aleatoria es el proceso de puntos con las dos propiedades siguientes:${\displaystyle \lambda \|B\|}$${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \xi }$

1. Dado , ¿Poisson se distribuye con parámetro para cualquier subconjunto acotado?${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$${\displaystyle \xi (B)}$${\displaystyle \Lambda (B)}$${\displaystyle B.}$
2. Para cualquier colección finita de subconjuntos disjuntos y condicionados tenemos que son independientes.${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$${\displaystyle \Lambda (B_{1}),\ldots ,\Lambda (B_{n}),}$${\displaystyle \xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})}$

Es fácil ver que los procesos puntuales de Poisson (homogéneos y no homogéneos) siguen como casos especiales de procesos puntuales de Cox. La medida media de un proceso de puntos de Cox es y, por lo tanto, en el caso especial de un proceso de puntos de Poisson, es${\displaystyle E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot )}$${\displaystyle \lambda \|\cdot \|.}$

Para un proceso de puntos de Cox, se denomina medida de intensidad . Además, si tiene una densidad (aleatoria) ( derivada Radon-Nikodym ) , es decir,${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$${\displaystyle \lambda (\cdot )}$

${\displaystyle \Lambda (B){\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\int _{B}\lambda (x)\,dx,}$

entonces se denomina campo de intensidad del proceso de puntos de Cox. La estacionariedad de las medidas de intensidad o los campos de intensidad implica la estacionariedad de los correspondientes procesos de puntos de Cox.${\displaystyle \lambda (\cdot )}$

Ha habido muchas clases específicas de procesos puntuales de Cox que se han estudiado en detalle, tales como:

• Procesos log gaussianos de punto de Cox: ^[19] para un campo aleatorio gaussiano${\displaystyle \lambda (y)=\exp(X(y))}$ ${\displaystyle X(.)}$
• Procesos de punto de Cox de ruido de disparo :, ^[20] para un proceso de punto de Poisson y kernel${\displaystyle \lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)}$${\displaystyle \Phi (\cdot )}$${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• Procesos puntuales de Cox de ruido de disparo generalizados: ^[21] para un proceso puntual y un núcleo${\displaystyle \lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)}$${\displaystyle \Phi (\cdot )}$${\displaystyle h(.,.)}$
• Procesos de puntos de Cox basados ​​en Lévy: ^[22] para una base y un núcleo de Lévy , y${\displaystyle \lambda (y)=\int h(x,y)L(dx)}$${\displaystyle L(\cdot )}$${\displaystyle h(.,.)}$
• Procesos puntuales Permanental Cox: ^[23] para k campos aleatorias gaussianas independientes s'${\displaystyle \lambda (y)=X_{1}^{2}(y)+\cdots +X_{k}^{2}(y)}$${\displaystyle X_{i}(\cdot )}$
• Procesos sigmoidales de puntos de Cox gaussianos: ^[24] para un campo aleatorio gaussiano y aleatorio${\displaystyle \lambda (y)=\lambda ^{\star }/(1+\exp(-X(y)))}$${\displaystyle X(\cdot )}$${\displaystyle \lambda ^{\star }>0}$

Mediante la desigualdad de Jensen, se puede verificar que los procesos puntuales de Cox satisfacen la siguiente desigualdad: para todos los subconjuntos de Borel acotados ,${\displaystyle B}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (\xi (B))\geq \operatorname {Var} (\xi _{\alpha }(B)),}$

donde representa un proceso de puntos de Poisson con medida de intensidad Por lo tanto, los puntos se distribuyen con mayor variabilidad en un proceso de puntos de Cox en comparación con un proceso de puntos de Poisson. Esto a veces se denomina agrupación o propiedad atractiva del proceso de puntos de Cox.${\displaystyle \xi _{\alpha }}$${\displaystyle \alpha (\cdot ):=E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot ).}$

Procesos de puntos determinantes

Una clase importante de procesos puntuales, con aplicaciones a la física , la teoría de matrices aleatorias y la combinatoria , es la de los procesos puntuales determinantes . ^[25]

Procesos de Hawkes (autoexcitantes)

Un proceso de Hawkes , también conocido como proceso de conteo auto-excitante, es un proceso puntual simple cuya intensidad condicional se puede expresar como${\displaystyle N_{t}}$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\lambda (t)&=\mu (t)+\int _{-\infty }^{t}\nu (t-s)dN_{s}\\&=\mu (t)+\sum _{T_{k}<t}\nu (t-T_{k})\end{array}}}$

donde es una función del núcleo que expresa la influencia positiva de eventos pasados sobre el valor actual del proceso de intensidad , es una función posiblemente no estacionaria que representa la parte esperada, predecible o determinista de la intensidad, y es el momento en que ocurre el i-ésimo evento del proceso. ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \nu :\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle \lambda (t)}$${\displaystyle \mu (t)}$${\displaystyle \{T_{i}:T_{i}<T_{i+1}\}\in \mathbb {R} }$

Procesos geométricos

Dada una secuencia de variables aleatorias no negativas:, si son independientes y la CDF de está dada por para , donde es una constante positiva, entonces se llama proceso geométrico (GP). ^[26]${\displaystyle \{X_{k},k=1,2,\dots \}}$${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle F(a^{k-1}x)}$${\displaystyle k=1,2,\dots }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \{X_{k},k=1,2,\ldots \}}$

El proceso geométrico tiene varias extensiones, incluido el proceso de la serie α ^[27] y el proceso doblemente geométrico . ^[28]

Procesos puntuales en la media línea real

Históricamente, los primeros procesos puntuales que se estudiaron tenían la media línea real R ₊ = [0, ∞) como su espacio de estados, que en este contexto se suele interpretar como tiempo. Estos estudios fueron motivados por el deseo de modelar sistemas de telecomunicaciones, ^[29] en los que los puntos representaban eventos en el tiempo, como llamadas a una central telefónica.

Los procesos puntuales en R ₊ se describen típicamente dando la secuencia de sus tiempos (aleatorios) entre eventos ( T ₁ ,  T ₂ , ...), a partir de los cuales la secuencia real ( X ₁ ,  X ₂ , ...) de los tiempos de los eventos se pueden obtener como

${\displaystyle X_{k}=\sum _{j=1}^{k}T_{j}\quad {\text{for }}k\geq 1.}$

Si los tiempos entre eventos son independientes y están distribuidos de manera idéntica, el proceso de puntos obtenido se denomina proceso de renovación .

Intensidad de un proceso puntual

La intensidad λ ( t  |  H _t ) de un proceso puntual en la media línea real con respecto a una filtración H _t se define como

${\displaystyle \lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr({\text{One event occurs in the time-interval}}\,[t,t+\Delta t]\mid H_{t}),}$

H _t puede denotar el historial de tiempos de eventos puntuales que preceden al tiempo t, pero también puede corresponder a otras filtraciones (por ejemplo, en el caso de un proceso Cox).

En el -notation, esto puede escribirse en una forma más compacta: .${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle \lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr(N(t+\Delta t)-N(t)=1\mid H_{t})}$

El compensador de un proceso puntual, también conocido como proyección dual predecible , es la función de intensidad condicional integrada definida por

${\displaystyle \Lambda ^{}(s_{},u)=\int _{s}^{u}\lambda ^{}(t|H_{t})\mathrm {d} t}$

Funciones relacionadas

Función de intensidad de Papangelou

La función de intensidad de Papangelou de un proceso puntual en el espacio euclidiano dimensional se define como${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \lambda _{p}(x)=\lim _{\delta \to 0}{\frac {1}{|B_{\delta }(x)|}}{P}\{{\text{One event occurs in }}\,B_{\delta }(x)\mid \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]\},}$

donde está la bola centrada en un radio , y denota la información del proceso puntual en el exterior .${\displaystyle B_{\delta }(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B_{\delta }(x)}$

Función de verosimilitud

La probabilidad logarítmica de un proceso puntual simple parametrizado condicionado a algunos datos observados se escribe como

${\displaystyle \ln {\mathcal {L}}(N(t)_{t\in [0,T]})=\int _{0}^{T}(1-\lambda (s))ds+\int _{0}^{T}\ln \lambda (s)dN_{s}}$^[30]

Procesos puntuales en estadísticas espaciales

El análisis de datos de patrones de puntos en un subconjunto compacto S de R ⁿ es un objeto principal de estudio dentro de la estadística espacial . Estos datos aparecen en una amplia gama de disciplinas, ^[31] entre las que se encuentran

• ecología forestal y vegetal (posiciones de árboles o plantas en general)
• epidemiología (lugares de origen de los pacientes infectados)
• zoología (madrigueras o nidos de animales)
• geografía (posiciones de asentamientos humanos, pueblos o ciudades)
• sismología (epicentros de terremotos)
• ciencia de materiales (posiciones de defectos en materiales industriales)
• astronomía (ubicaciones de estrellas o galaxias)
• neurociencia computacional (picos de neuronas).

La necesidad de utilizar procesos puntuales para modelar este tipo de datos radica en su estructura espacial inherente. En consecuencia, una primera pregunta de interés es a menudo si los datos dados exhiben aleatoriedad espacial completa (es decir, son una realización de un proceso de Poisson espacial ) en contraposición a exhibir agregación espacial o inhibición espacial.

Por el contrario, muchos conjuntos de datos considerados en las estadísticas multivariadas clásicas consisten en puntos de datos generados de forma independiente que pueden estar gobernados por una o varias covariables (generalmente no espaciales).

Aparte de las aplicaciones en estadística espacial, los procesos puntuales son uno de los objetos fundamentales en la geometría estocástica . La investigación también se ha centrado ampliamente en varios modelos basados ​​en procesos puntuales, como teselaciones de Voronoi, gráficos geométricos aleatorios, modelo booleano, etc.

Ver también

• Medida empírica
• Medida aleatoria
• Notación de proceso de puntos
• Operación de proceso puntual
• Proceso de Poisson
• Teoría de la renovación
• Medida invariante
• Operador de transferencia
• Operador de Koopman
• Operador de turno

Notas

1. En el contexto de los procesos puntuales, el término "espacio de estado" puede significar el espacio en el que se define el proceso puntual, como la línea real, ^{[5] [6]} que corresponde al índice establecido en la terminología de procesos estocásticos.

Referencias

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