En ciencia de materiales y mecánica de sólidos , la relación de Poisson ( nu ) es una medida del efecto Poisson , la deformación (expansión o contracción) de un material en direcciones perpendiculares a la dirección específica de carga . El valor de la relación de Poisson es el negativo de la relación de deformación transversal a axial cepa . Para valores pequeños de estos cambios,es la cantidad de alargamiento transversal dividida por la cantidad de compresión axial . La mayoría de los materiales tienen valores de relación de Poisson que oscilan entre 0,0 y 0,5. Materiales blandos, [1] como el caucho, donde el módulo de volumen es mucho más alto que el módulo de corte, la relación de Poisson está cerca de 0.5. Para las espumas de polímero de celda abierta, la relación de Poisson es cercana a cero, ya que las celdas tienden a colapsar en la compresión. Muchos sólidos típicos tienen proporciones de Poisson en el rango de 0.2-0.3. La proporción lleva el nombre del matemático y físico francés Siméon Poisson .
Origen
La relación de Poisson es una medida del efecto Poisson, el fenómeno por el cual un material tiende a expandirse en direcciones perpendiculares a la dirección de compresión. Por el contrario, si el material se estira en lugar de comprimir, generalmente tiende a contraerse en direcciones transversales a la dirección de estiramiento. Es una observación común cuando se estira una banda elástica, se vuelve notablemente más delgada. Nuevamente, la razón de Poisson será la razón entre la contracción relativa y la expansión relativa y tendrá el mismo valor que el anterior. En ciertos casos raros, [2] un material se encogerá en la dirección transversal cuando se comprima (o se expandirá cuando se estire) lo que producirá un valor negativo de la relación de Poisson.
La relación de Poisson de un material elástico lineal isótropo estable debe estar entre -1,0 y +0,5 debido al requisito de que el módulo de Young , el módulo de corte y el módulo de volumen tengan valores positivos. [3] La mayoría de los materiales tienen valores de relación de Poisson que oscilan entre 0,0 y 0,5. Un material isotrópico perfectamente incompresible deformado elásticamente a pequeñas deformaciones tendría una relación de Poisson de exactamente 0,5. La mayoría de los aceros y polímeros rígidos cuando se utilizan dentro de sus límites de diseño (antes del rendimiento ) exhiben valores de aproximadamente 0,3, que aumentan a 0,5 para la deformación posterior al rendimiento que se produce en gran medida a volumen constante. [4] El caucho tiene una relación de Poisson de casi 0,5. La relación de Poisson de Cork es cercana a 0, mostrando muy poca expansión lateral cuando se comprime y el vidrio está entre 0.18 y 0.30. Algunos materiales, por ejemplo, algunas espumas poliméricas, pliegues de origami, [5] [6] y ciertas células pueden presentar una relación de Poisson negativa y se denominan materiales auxéticos . Si estos materiales auxéticos se estiran en una dirección, se vuelven más gruesos en la dirección perpendicular. Por el contrario, algunos materiales anisotrópicos , como los nanotubos de carbono , las láminas plegadas en zigzag, [7] [8] y los metamateriales auxéticos en forma de panal [9], por nombrar algunos, pueden presentar una o más proporciones de Poisson por encima de 0,5 en determinadas direcciones.
Suponiendo que el material se estira o comprime en una sola dirección (el eje x en el diagrama a continuación):
dónde
- es la razón de Poisson resultante,
- es deformación transversal (negativa para tensión axial (estiramiento), positiva para compresión axial)
- es la deformación axial (positiva para tensión axial, negativa para compresión axial).
Relación de Poisson a partir de cambios de geometría
Cambio de longitud
Para un cubo estirado en la dirección x (ver Figura 1) con un aumento de longitud deen la dirección x , y una disminución de longitud deen las Y y Z direcciones, las cepas diagonales infinitesimales están dadas por
Si la razón de Poisson es constante a través de la deformación, la integración de estas expresiones y el uso de la definición de la razón de Poisson da
Resolviendo y exponencializando, la relación entre y es entonces
Para valores muy pequeños de y , la aproximación de primer orden produce:
Cambio volumétrico
Ahora se puede calcular el cambio relativo de volumen ΔV / V de un cubo debido al estiramiento del material. Utilizando y :
Usando la relación derivada anterior entre y :
y para valores muy pequeños de y , la aproximación de primer orden produce:
Para materiales isotrópicos podemos usar la relación de Lamé [10]
dónde es el módulo de volumen yes el módulo de Young .
Cambio de ancho
Si una varilla con diámetro (o ancho o grosor) d y longitud L está sujeta a tensión de modo que su longitud cambie en ΔL, entonces su diámetro d cambiará en:
La fórmula anterior es cierta solo en el caso de pequeñas deformaciones; si las deformaciones son grandes, se puede utilizar la siguiente fórmula (más precisa):
dónde
- es el diámetro original
- es el cambio de diámetro de la varilla
- es la relación de Poisson
- es la longitud original, antes del estiramiento
- es el cambio de longitud.
El valor es negativo porque disminuye con el aumento de la longitud.
Materiales característicos
Isotrópico
Para un material isotrópico lineal sometido únicamente a fuerzas de compresión (es decir, normales), la deformación de un material en la dirección de un eje producirá una deformación del material a lo largo del otro eje en tres dimensiones. Por tanto, es posible generalizar la ley de Hooke (para fuerzas de compresión) en tres dimensiones:
dónde:
- , y están deformados en la dirección de , y eje
- , y son el estrés en la dirección de , y eje
- es el módulo de Young (el mismo en todas las direcciones: , y para materiales isotrópicos)
- es la relación de Poisson (la misma en todas las direcciones: , y para materiales isotrópicos)
estas ecuaciones se pueden sintetizar todas de la siguiente manera:
En el caso más general, también se mantendrán las tensiones cortantes así como las tensiones normales, y la generalización completa de la ley de Hooke viene dada por:
dónde es el delta de Kronecker . Por lo general, se adopta la notación de Einstein :
escribir la ecuación simplemente como:
Anisótropo
Para materiales anisotrópicos, la relación de Poisson depende de la dirección de extensión y deformación transversal.
Aquí es la razón de Poisson, es el módulo de Young , es el vector unitario dirigido a lo largo de la dirección de extensión, es un vector unitario dirigido perpendicular a la dirección de extensión. La proporción de Poisson tiene un número diferente de direcciones especiales según el tipo de anisotropía. [11] [12]
Ortotrópico
Los materiales ortotrópicos tienen tres planos de simetría mutuamente perpendiculares en sus propiedades materiales. Un ejemplo es la madera, que es más rígida (y fuerte) a lo largo de la veta y menos en las otras direcciones.
Entonces la ley de Hooke se puede expresar en forma de matriz como [13] [14]
dónde
- es el módulo de Young a lo largo del eje
- es el módulo de corte en la dirección en el plano cuya normal está en dirección
- es la razón de Poisson que corresponde a una contracción en la dirección cuando se aplica una extensión en la dirección .
La relación de Poisson de un material ortotrópico es diferente en cada dirección (x, y y z). Sin embargo, la simetría de los tensores de tensión y deformación implica que no todas las seis relaciones de Poisson en la ecuación son independientes. Solo hay nueve propiedades independientes del material: tres módulos elásticos, tres módulos de corte y tres relaciones de Poisson. Las tres relaciones de Poisson restantes se pueden obtener de las relaciones
De las relaciones anteriores podemos ver que si luego . La relación de Poisson más grande (en este caso) se llama la relación de Poisson mayor mientras que la menor (en este caso) se llama la relación de Poisson menor . Podemos encontrar relaciones similares entre los otros ratios de Poisson.
Transversalmente isotrópico
Los materiales transversalmente isotrópicos tienen un plano de isotropía en el que las propiedades elásticas son isotrópicas. Si asumimos que este plano de isotropía es, entonces la ley de Hooke toma la forma [15]
donde hemos usado el plano de isotropía para reducir el número de constantes, es decir, .
La simetría de los tensores de tensión y deformación implica que
Esto nos deja con seis constantes independientes . Sin embargo, la isotropía transversal da lugar a una restricción adicional entre y cual es
Por lo tanto, hay cinco propiedades independientes del material elástico, dos de las cuales son las relaciones de Poisson. Para el plano de simetría supuesto, el mayor de y es la relación de Poisson más importante. Las otras proporciones de Poisson mayor y menor son iguales.
Valores de la relación de Poisson para diferentes materiales
Material | el coeficiente de Poisson |
---|---|
goma | 0,4999 [17] |
oro | 0,42-0,44 |
arcilla saturada | 0,40-0,49 |
magnesio | 0,252-0,289 |
titanio | 0,265–0,34 |
cobre | 0,33 |
aluminio - aleación | 0,32 |
arcilla | 0,30–0,45 |
acero inoxidable | 0,30–0,31 |
acero | 0,27-0,30 |
hierro fundido | 0,21-0,26 |
arena | 0,20–0,455 |
hormigón | 0,1-0,2 |
vidrio | 0,18-0,3 |
vidrios metálicos | 0,276-0,409 [18] |
espuma | 0,10-0,50 |
corcho | 0.0 |
Material | Plano de simetría | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Núcleo de nido de abeja Nomex | , cinta en dirección | 0,49 | 0,69 | 0,01 | 2,75 | 3,88 | 0,01 |
fibra de vidrio - resina epoxi | 0,29 | 0,32 | 0,06 | 0,06 | 0,32 |
Materiales de relación de Poisson negativa
Algunos materiales conocidos como materiales auxéticos muestran una relación de Poisson negativa. Cuando se somete a una deformación positiva en un eje longitudinal, la deformación transversal en el material será realmente positiva (es decir, aumentaría el área de la sección transversal). En el caso de estos materiales, normalmente se debe a enlaces moleculares articulados y orientados de forma única. Para que estas uniones se estiren en la dirección longitudinal, las bisagras deben "abrirse" en la dirección transversal, exhibiendo efectivamente una deformación positiva. [19] Esto también se puede hacer de forma estructurada y conducir a nuevos aspectos en el diseño de materiales como para los metamateriales mecánicos .
Los estudios han demostrado que ciertos tipos de madera maciza muestran una relación de Poisson negativa exclusivamente durante una prueba de deformación por compresión . [20] [21] Inicialmente, la prueba de fluencia por compresión muestra relaciones de Poisson positivas, pero disminuye gradualmente hasta alcanzar valores negativos. En consecuencia, esto también muestra que la relación de Poisson para la madera depende del tiempo durante la carga constante, lo que significa que la deformación en la dirección axial y transversal no aumenta en la misma proporción.
Los medios con microestructura diseñada pueden presentar una relación de Poisson negativa. En un caso simple se obtiene auxeticidad quitando material y creando un medio poroso periódico. [22] Las celosías pueden alcanzar valores más bajos de la relación de Poisson, [23] que pueden estar indefinidamente cerca del valor límite -1 en el caso isotrópico. [24]
Más de trescientos materiales cristalinos tienen una relación de Poisson negativa. [25] [26] [27] Por ejemplo, Li, Na, K, Cu, Rb, Ag, Fe, Ni, Co, Cs, Au, Be, Ca, Zn Sr, Sb, MoS y otra.
Función de Poisson
En deformaciones finitas , la relación entre las deformaciones transversales y axiales y típicamente no está bien descrito por la relación de Poisson. De hecho, el índice de Poisson a menudo se considera una función de la deformación aplicada en el régimen de deformación grande. En tales casos, la razón de Poisson se reemplaza por la función de Poisson, para la cual existen varias definiciones en competencia. [28] Definición del tramo transversal y estiramiento axial , donde el estiramiento transversal es una función del estiramiento axial (es decir, ) las más comunes son las funciones Hencky, Biot, Green y Almansi
Aplicaciones del efecto de Poisson
Un área en la que el efecto de Poisson tiene una influencia considerable es en el flujo de la tubería presurizada. Cuando el aire o el líquido dentro de una tubería está muy presurizado, ejerce una fuerza uniforme en el interior de la tubería, lo que produce una tensión circular dentro del material de la tubería. Debido al efecto de Poisson, esta tensión circular hará que la tubería aumente de diámetro y disminuya ligeramente su longitud. La disminución de la longitud, en particular, puede tener un efecto notable en las juntas de la tubería, ya que el efecto se acumulará para cada sección de tubería unida en serie. Una junta restringida puede romperse o ser propensa a fallar. [ cita requerida ]
Otra área de aplicación del efecto de Poisson se encuentra en el ámbito de la geología estructural . Las rocas, como la mayoría de los materiales, están sujetas al efecto de Poisson mientras están bajo estrés. En una escala de tiempo geológica, la erosión o sedimentación excesiva de la corteza terrestre puede crear o eliminar grandes tensiones verticales sobre la roca subyacente. Esta roca se expandirá o contraerá en la dirección vertical como resultado directo de la tensión aplicada, y también se deformará en la dirección horizontal como resultado del efecto de Poisson. Este cambio de deformación en la dirección horizontal puede afectar o formar juntas y tensiones latentes en la roca. [29]
Aunque el corcho se eligió históricamente para sellar botellas de vino por otras razones (incluida su naturaleza inerte, impermeabilidad, flexibilidad, capacidad de sellado y resiliencia), [30] la relación de Poisson de cero del corcho proporciona otra ventaja. A medida que se inserta el corcho en la botella, la parte superior que aún no está insertada no se expande en diámetro al comprimirse axialmente. La fuerza necesaria para insertar un corcho en una botella surge solo de la fricción entre el corcho y la botella debido a la compresión radial del corcho. Si el tapón estuviera hecho de caucho, por ejemplo, (con una relación de Poisson de aproximadamente 1/2), se necesitaría una fuerza adicional relativamente grande para superar la expansión radial de la parte superior del tapón de caucho.
La mayoría de los mecánicos de automóviles son conscientes de que es difícil tirar de una manguera de goma (por ejemplo, una manguera de refrigerante) de un tubo de metal, ya que la tensión de tirar hace que el diámetro de la manguera se contraiga, agarrando el tubo con fuerza. Las mangueras se pueden quitar más fácilmente de los extremos en lugar de usar una hoja ancha y plana.
Ver también
- Elasticidad lineal
- ley de Hooke
- Técnica de excitación por impulso
- Material ortotrópico
- Módulo de corte
- El módulo de Young
- Coeficiente de expansión termal
Referencias
- ^ En el caso de materiales blandos, el módulo de volumen (K) suele ser grande en comparación con el módulo de corte (G), por lo que pueden considerarse incompresibles, ya que es más fácil cambiar de forma que comprimir. Esto da como resultado que el módulo de Young (E) sea y por lo tanto . Jastrzebski, D. (1959). Naturaleza y propiedades de los materiales de ingeniería (Wiley International ed.). John Wiley & Sons, Inc.
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- ^ Silva, et al. "Cork: propiedades, capacidades y aplicaciones" Archivado el 9 de agosto de 2017 en Wayback Machine ,obtenidoel 4 de mayo de 2017
enlaces externos
- Significado de la relación de Poisson
- Materiales de relación de Poisson negativa
- Más sobre materiales con relación de Poisson negativa (auxética)
Fórmulas de conversión | |||||||
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Los materiales elásticos lineales isotrópicos homogéneos tienen sus propiedades elásticas determinadas unívocamente por dos módulos cualesquiera entre estos; por tanto, dados dos cualesquiera, cualquier otro módulo elástico se puede calcular de acuerdo con estas fórmulas. | |||||||
Notas | |||||||
Hay dos soluciones válidas. | |||||||
No se puede utilizar cuando | |||||||