Ecuación de Poisson-Boltzmann
La ecuación de Poisson-Boltzmann es una ecuación útil en muchos entornos, ya sea para comprender interfaces fisiológicas , ciencia de polímeros , interacciones de electrones en un semiconductor o más. Su objetivo es describir la distribución del potencial eléctrico en solución en la dirección normal a una superficie cargada. Esta distribución es importante para determinar cómo afectarán las interacciones electrostáticas a las moléculas en solución. La ecuación de Poisson-Boltzmann se deriva a través de supuestos de campo medio . [1] [2] A partir de la ecuación de Poisson-Boltzmann se han derivado muchas otras ecuaciones con varias suposiciones diferentes.
La ecuación de Poisson-Boltzmann describe un modelo propuesto de forma independiente por Louis Georges Gouy y David Leonard Chapman en 1910 y 1913, respectivamente. [3] En el modelo de Gouy-Chapman , un sólido cargado entra en contacto con una solución iónica, creando una capa de cargas superficiales y contraiones o doble capa . [4] Debido al movimiento térmico de los iones, la capa de contraiones es una capa difusa y más extensa que una sola capa molecular, como propuso previamente Hermann Helmholtz en el modelo de Helmholtz. [3] El modelo Stern Layer va un paso más allá y tiene en cuenta el tamaño finito de los iones.
El modelo de Gouy-Chapman explica las cualidades similares a la capacitancia de la doble capa eléctrica. [4] En la siguiente figura se puede ver un caso plano simple con una superficie cargada negativamente. Como era de esperar, la concentración de contraiones es mayor cerca de la superficie que en la solución a granel.
La ecuación de Poisson-Boltzmann describe el potencial electroquímico de los iones en la capa difusa. La distribución de potencial tridimensional se puede describir mediante la ecuación de Poisson [4]
La libertad de movimiento de los iones en solución puede explicarse mediante las estadísticas de Boltzmann . La ecuación de Boltzmann se utiliza para calcular la densidad local de iones de manera que
La ecuación para la densidad local de iones se puede sustituir en la ecuación de Poisson bajo el supuesto de que el trabajo que se realiza es solo trabajo eléctrico, que nuestra solución está compuesta por una sal 1:1 (p. ej., NaCl) y que la concentración de sal es mucho mayor que la concentración de iones. [4] El trabajo eléctrico para llevar un catión cargado o un anión cargado a una superficie con potencial ψ se puede representar mediante y respectivamente. [4] Estas ecuaciones de trabajo se pueden sustituir en la ecuación de Boltzmann, produciendo dos expresiones
