Principio máximo de Pontryagin

El principio máximo de Pontryagin se utiliza en la teoría de control óptimo para encontrar el mejor control posible para llevar un sistema dinámico de un estado a otro, especialmente en presencia de restricciones para el estado o los controles de entrada. ^[1] Establece que es necesario para cualquier control óptimo junto con la trayectoria de estado óptimo para resolver el llamado sistema hamiltoniano, que es un problema de valor de frontera de dos puntos , más una condición máxima del control hamiltoniano . ^[a] Estas condiciones necesarias se vuelven suficientes bajo ciertas condiciones de convexidad en las funciones objetivo y de restricción. ^[2]^[3]

El principio máximo fue formulado en 1956 por el matemático ruso Lev Pontryagin y sus estudiantes, ^[4]^[5] y su aplicación inicial fue la maximización de la velocidad terminal de un cohete. ^[6] El resultado se obtuvo utilizando ideas del cálculo clásico de variaciones . ^[7] Después de una ligera perturbación del control óptimo, se considera el término de primer orden de una expansión de Taylor con respecto a la perturbación; enviar la perturbación a cero conduce a una desigualdad variacional de la que se sigue el principio de máximo. ^[8]

Considerado ampliamente como un hito en la teoría del control óptimo, ^[1] la importancia del principio máximo radica en el hecho de que maximizar el hamiltoniano es mucho más fácil que el problema original de control de dimensión infinita; en lugar de maximizar en un espacio funcional , el problema se convierte en una optimización puntual . ^[9] Una lógica similar conduce al principio de optimización de Bellman , un enfoque relacionado con los problemas de control óptimo que establece que la trayectoria óptima sigue siendo óptima en puntos intermedios en el tiempo. ^[10] La ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman resultante proporciona una condición necesaria y suficiente para un óptimo, y admiteuna extensión directa a los problemas de control óptimo estocástico, mientras que el principio máximo no lo hace. ^[8] Sin embargo, en contraste con la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman, que debe mantenerse en todo el espacio de estados para ser válida, el Principio Máximo de Pontryagin es potencialmente más eficiente computacionalmente en el sentido de que las condiciones que especifica solo necesitan mantenerse sobre un trayectoria. ^[1]

Para realizar la configuración y las funciones y utilizamos la siguiente notación: ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ Displaystyle \ Psi: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R},}$ ${\ Displaystyle H: \ mathbb {R} ^ {n} \ times {\ mathcal {U}} \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R},}$ ${\ Displaystyle L: \ mathbb {R} ^ {n} \ times {\ mathcal {U}} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ times {\ mathcal {U}} \ to \ mathbb {R} ^ {n},}$