En la teoría de la división justa , el precio de la equidad (POF) es la relación entre el mayor bienestar económico que se puede lograr mediante una división y el bienestar económico obtenido mediante una división justa . El POF es una medida cuantitativa de la pérdida de bienestar que la sociedad debe asumir para garantizar la equidad.
En general, el POF se define mediante la siguiente fórmula:
El precio exacto varía mucho según el tipo de división, el tipo de equidad y el tipo de bienestar social que nos interesa.
El tipo de bienestar social mejor estudiado es el bienestar social utilitario , definido como la suma de las utilidades (normalizadas) de todos los agentes. Otro tipo es el bienestar social igualitario , definido como la utilidad mínima (normalizada) por agente.
Ejemplo numérico
En este ejemplo nos enfocamos en el precio utilitario de proporcionalidad , o UPOP.
Considere un predio heterogéneo que debe dividirse entre 100 socios, todos los cuales lo valoran en 100 (o el valor se normaliza a 100). Primero, veamos algunos casos extremos.
- El máximo bienestar utilitario posible es 10000. Este bienestar es alcanzable sólo en el caso muy raro en el que cada socio quiere una parte diferente de la tierra.
- En una división proporcional, cada socio recibe un valor de al menos 1, por lo que el bienestar utilitario es de al menos 100.
Límite superior
Los casos extremos descritos anteriormente ya nos dan un límite superior trivial: UPOP ≤ 10000/100 = 100. Pero podemos obtener un límite superior más estricto.
Supongamos que tenemos una división eficiente de una de bienes de la tierra a 100 socios, con un bienestar utilitaria T . Queremos convertirlo en una división proporcional. Para ello, agrupamos a los socios según su valor actual:
- Los socios cuyo valor actual es de al menos 10 se denominan afortunados .
- Los otros socios se llaman desafortunados .
Hay dos casos:
- Si hay menos de 10 socios afortunados, simplemente descarte la división actual y haga una nueva división proporcional (por ejemplo, utilizando el último protocolo de disminución ). En una división proporcional, cada socio recibe un valor de al menos 1, por lo que el valor total es al menos 100. El valor de la división original es menor que (10 * 100 + 90 * 10) = 1900, por lo que el UPOP está en la mayoría 19.
- Si hay al menos 10 socios afortunados, cree una división proporcional utilizando la siguiente variante del último protocolo de disminución :
- Cada socio afortunado, a su vez, recorta 0,1 de su parte y permite que los demás socios desafortunados la disminuyan. O él o uno de los socios desafortunados recibe esta parte.
- Esto continúa hasta que cada uno de los (como máximo) 90 socios desafortunados tiene una parte. Ahora cada uno de los (al menos) 10 socios afortunados tiene al menos 0.1 de su valor anterior, y cada uno de los socios desafortunados tiene al menos su valor anterior, por lo que el UPOP es como máximo 10.
En resumen: la UPOP es siempre menor que 20, independientemente de las medidas de valor de los socios.
Límite inferior
El UPOP puede ser tan bajo como 1. Por ejemplo, si todos los socios tienen la misma medida de valor, entonces en cualquier división, independientemente de la equidad, el bienestar utilitario es 100. Por lo tanto, UPOP = 100/100 = 1.
Sin embargo, estamos interesados en un UPOP en el peor de los casos, es decir, una combinación de medidas de valor en las que el UPOP es grande. He aquí un ejemplo.
Suponga que hay dos tipos de socios:
- 90 socios uniformes que valoran todo el terreno de manera uniforme (es decir, el valor de una pieza es proporcional a su tamaño).
- 10 socios enfocados , cada uno de los cuales valora solo un distrito que cubre 0.1 de la tierra.
Considere las dos siguientes particiones:
- División justa : Divida la tierra de manera uniforme, dando a cada socio 0.01 de la tierra, donde los socios enfocados reciben cada uno su 0.01 en su distrito deseado. Esta división es justa. El valor de cada socio uniforme es 1, mientras que el valor de cada socio enfocado es 10, por lo que el bienestar utilitario es 190.
- División eficiente : Divida toda la tierra entre los socios enfocados, dando a cada socio su distrito completo deseado. El bienestar utilitario es 100 * 10 = 1000.
En este ejemplo, el UPOP es 1000/190 = 5,26. Por tanto, 5.26 es un límite inferior en el caso más desfavorable de UPOP (donde el "caso más desfavorable" se toma sobre todas las combinaciones posibles de medidas de valor).
Conjunto
Combinando todos los resultados, obtenemos que el UPOP en el peor de los casos está limitado entre 5 y 20.
Este ejemplo es típico de los argumentos utilizados para vincular el POF. Para probar un límite inferior, basta con describir un solo ejemplo; para probar un límite superior, se debe presentar un algoritmo u otro argumento sofisticado.
Corte de tarta con trozos generales
Precio utilitario de proporcionalidad
El ejemplo numérico descrito anteriormente puede generalizarse de 100 a n socios, dando los siguientes límites para el peor de los casos UPOP:
- √ n / 2 ≤ UPOP ≤ 2√ n -1
- UPOP = Θ (√ n )
Para dos socios, un cálculo más detallado da un límite de: 8-4 * √3 ≅ 1.07. [1]
Precio utilitario de la envidia
Cuando se divide todo el pastel, una división sin envidia siempre es proporcional. Por lo tanto, el límite inferior del UPOP en el peor de los casos (√ n / 2) también se aplica aquí. Por otro lado, como límite superior solo tenemos un límite débil de n -1/2. [1] Por lo tanto:
- √ n / 2 ≤ UPOV ≤ n -1/2
- Ω (√ n ) ≤ UPOV ≤ O ( n )
Para dos socios, un cálculo más detallado da un límite de: 8-4 * √3 ≅ 1.07. [1]
Precio utilitario de la equidad
Para dos socios, un cálculo más detallado da un límite de: 9/8 = 1,125. [1]
Asignación de bienes indivisibles
Para los elementos indivisibles, no siempre existe una asignación que satisfaga la proporcionalidad, la ausencia de envidia o la equidad (para un ejemplo simple, imagine a dos socios tratando de dividir un solo elemento valioso). Consulte también la asignación justa de artículos . En consecuencia, en los cálculos del precio de equidad, no se consideran los casos en los que ninguna asignación satisface la noción de equidad relevante. Un breve resumen de los resultados: [1]
- UPOP = n - 1 + 1 / n ; para dos personas: 3/2.
- (3 n +7) / 9-O (1 / n ) ≤ UPOV ≤ n -1/2; para dos personas: 3/2
- UPOQ = Infinito; para dos personas: 2
Tarea con piezas generales
Para el problema de cortar la torta cuando la "torta" no es deseable (por ejemplo, cortar el césped), tenemos los siguientes resultados: [1]
- ( n +1) ^ 2/4 n ≤ UPOP ≤ n ; para dos personas: 9/8
- (n + 1) ^ 2 / 4n ≤ UPOV ≤ infinito; para dos personas: 9/8
- UPOQ = n
Asignación de males indivisibles
- UPOP = n
- UPOV = infinito
- UPOQ = infinito
Corte de pastel con piezas conectadas
El problema del corte justo de la torta tiene una variación en la que las piezas deben estar conectadas. En esta variación, tanto el nominador como el denominador en la fórmula POF son más pequeños (ya que el máximo se toma sobre un conjunto más pequeño), por lo que a priori no está claro si el POF debería ser menor o mayor que en el caso desconectado.
Precio utilitario de la justicia
Tenemos los siguientes resultados para el bienestar utilitario: [2]
- UPOP = Θ (√ n )
- UPOV = Θ (√ n )
- n -1 + 1 / n ≤ EPOQ ≤ n
- EPOQ = Θ ( n )
Precio igualitario de la justicia
En una división proporcional , el valor de cada socio es al menos 1 / n del total. En particular, el valor del agente menos afortunado (que se llama bienestar igualitario de la división) es al menos 1 / n . Esto significa que en una división igualitaria-óptima, el bienestar igualitario es al menos 1 / n , por lo que una división igualitaria-óptima es siempre proporcional. Por lo tanto, el precio igualitario de proporcionalidad (EPOP) es 1:
- EPOP = 1
Se aplican consideraciones similares al precio igualitario de la equidad (EPOQ):
- EPOQ = 1
El precio igualitario de la ausencia de envidia es mucho mayor: [2]
- EPOV = n / 2
Este es un resultado interesante, ya que implica que la insistencia en el criterio de la ausencia de envidia aumenta las brechas sociales y perjudica a los ciudadanos más desafortunados. El criterio de proporcionalidad es mucho menos perjudicial.
Precio de la maximización del bienestar
En lugar de calcular la pérdida de bienestar debido a la equidad, podemos calcular la pérdida de equidad debido a la optimización del bienestar. Obtenemos los siguientes resultados: [2]
- precio-proporcional-del-igualitarismo = 1
- envidia-precio-del-igualitarismo = n -1
- precio-proporcional-del-utilitarismo = infinito
- envidia-precio-del-igualitarismo = infinito
Asignación de bienes indivisibles con bloques conectados
Al igual que en el corte de pasteles, para la asignación de artículos indivisibles hay una variación en la que los artículos se encuentran en una línea y cada pieza asignada debe formar un bloque en la línea. Un breve resumen de los resultados: [3]
- UPOP = n - 1 + 1 / n
- UPOV = Θ (√ n )
- UPOQ = infinito; para dos personas: 3/2
- EPOP = 1
- EPOV = n / 2
- EPOQ = infinito; para dos personas: 1
Tarea con piezas conectadas
Un breve resumen de los resultados: [4]
- n / 2 ≤ UPOP ≤ n
- UPOV = infinito
- UPOQ = n
- EPOP = 1
- EPOV = infinito
- EPOQ = 1
Asignación de recursos homogénea
El precio de la equidad también se ha estudiado en el concurso de la asignación de recursos divisibles homogéneos, como el petróleo o las maderas. Los resultados conocidos son: [5] [6]
UPOV = UPOP = Θ (√ n )
Esto se debe a que la regla de equilibrio competitivo de ingresos iguales produce una asignación sin envidia y su precio utilitario es O (√ n ).
Otros contextos
El precio de equidad se ha estudiado en el contexto del problema de la suma justa del subconjunto .
Ver también
Referencias
- ^ a b c d e f Caragiannis, I .; Kaklamanis, C .; Kanellopoulos, P .; Kyropoulou, M. (2011). "La eficiencia de la división justa". Teoría de los sistemas informáticos . 50 (4): 589. CiteSeerX 10.1.1.475.9976 . doi : 10.1007 / s00224-011-9359-y .
- ^ a b c Aumann, Y .; Dombb, Y. (2010). "La eficiencia de la división justa con piezas conectadas" . Economía de Internet y redes . Apuntes de conferencias en informática. 6484 . págs. 26 . CiteSeerX 10.1.1.391.9546 . doi : 10.1007 / 978-3-642-17572-5_3 . ISBN 978-3-642-17571-8.
- ^ Suksompong, W. (2019). "Asignación justa de bloques contiguos de elementos indivisibles". Matemáticas aplicadas discretas . 260 : 227-236. arXiv : 1707.00345 . doi : 10.1016 / j.dam.2019.01.036 .
- ^ Heydrich, S .; van Stee, R. (2015). "Dividir las tareas conectadas equitativamente" . Informática Teórica . 593 : 51–61. doi : 10.1016 / j.tcs.2015.05.041 .
- ^ Bertsimas, D .; Farias, VF; Trichakis, N. (2011). "El precio de la justicia". Investigación operativa . 59 : 17–31. doi : 10.1287 / opre.1100.0865 . hdl : 1721,1 / 69093 .
- ^ Bertsimas, D .; Farias, VF; Trichakis, N. (2012). "Sobre el equilibrio entre eficiencia y equidad". Ciencias de la gestión . 58 (12): 2234. CiteSeerX 10.1.1.380.1461 . doi : 10.1287 / mnsc.1120.1549 .