Raíz principal de la unidad

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En matemáticas, una raíz n -ésima principal de la unidad (donde n es un número entero positivo) de un anillo es un elemento que satisface las ecuaciones${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha ^{n}=1\\&\sum _{j=0}^{n-1}\alpha ^{jk}=0{\text{ for }}1\leq k<n\end{aligned}}}$

En un dominio integral, cada raíz n -ésima primitiva de la unidad es también una raíz -ésima principal de la unidad. En cualquier anillo, si es una potencia de , entonces cualquier raíz -ésima de es una raíz -ésima principal de la unidad.${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle n/2}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle n}$

Un no-ejemplo está en el anillo del módulo de números enteros ; while y, por tanto, es una raíz cúbica de la unidad, lo que significa que no es una raíz cúbica principal de la unidad .${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 26}$${\displaystyle 3^{3}\equiv 1{\pmod {26}}}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 1+3+3^{2}\equiv 13{\pmod {26}}}$

La importancia de que una raíz de unidad sea principal es que es una condición necesaria para que la teoría de la transformada discreta de Fourier funcione correctamente.

Referencias

• Bini, D .; Pan, V. (1994), Polinomios y cálculos matriciales , 1 , Boston, MA: Birkhäuser, p. 11