Prueba de razón

donde cada término es un número real o complejo y _n es distinto de cero cuando n es grande. La prueba fue publicada por primera vez por Jean le Rond d'Alembert y a veces se la conoce como prueba de la razón de d'Alembert o prueba de la razón de Cauchy . ^[1]

Es posible hacer que la prueba de la razón sea aplicable a ciertos casos en los que el límite L no existe, si se utilizan límite superior y límite inferior . Los criterios de prueba también se pueden refinar para que la prueba a veces sea concluyente incluso cuando L = 1. Más específicamente, sea

Si existe el límite L en ( 1 ), debemos tener L = R = r . Entonces, la prueba de proporción original es una versión más débil de la refinada.

La primera serie ( 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ ) diverge, la segunda (la central del problema de Basilea ) converge absolutamente y la tercera (la serie armónica alterna ) converge condicionalmente. Sin embargo, las razones de magnitud término por término de las tres series son respectivamente    y    . Entonces, en los tres casos, se tiene que el límite es igual a 1. Esto ilustra que cuando L = 1, la serie puede converger o divergir y, por lo tanto, la prueba de la razón original no es concluyente. En tales casos, se requieren pruebas más refinadas para determinar la convergencia o divergencia.${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$${\displaystyle 1,}$   ${\displaystyle {\frac {n^{2}}{(n+1)^{2}}}}$${\displaystyle {\frac {n}{n+1}}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$

Supongamos que . Entonces podemos demostrar que la serie converge absolutamente demostrando que sus términos finalmente serán menores que los de una cierta serie geométrica convergente . Para hacer esto, considere un número real r tal que . Esto implica que para n suficientemente grande ; digamos, para todo n mayor que N . Por tanto, para cada n > N e i > 0, y así${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1}$ ${\displaystyle L<r<1}$${\displaystyle |a_{n+1}|<r|a_{n}|}$${\displaystyle |a_{n+i}|<r^{i}|a_{n}|}$

Diagrama de decisión para la prueba de la razón

En este ejemplo, la proporción de términos adyacentes en la secuencia azul converge a L=1/2. Elegimos r  = (L+1)/2 = 3/4. Entonces, la secuencia azul está dominada por la secuencia roja r ^k para todo n ≥ 2. La secuencia roja converge, por lo que la secuencia azul también lo hace.