Reducción de pedido

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La reducción de orden es una técnica matemática para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden . Se emplea cuando se conoce una solución y se desea una segunda solución linealmente independiente . El método también se aplica a las ecuaciones de n -ésimo orden. En este caso, el ansatz producirá una ecuación de ( n −1) -ésimo orden para .${\ Displaystyle y_ {1} (x)}$${\ Displaystyle y_ {2} (x)}$${\ Displaystyle v}$

Considere la ecuación diferencial ordinaria de coeficiente constante lineal de segundo orden, homogénea y general. (ODA)

donde son coeficientes reales distintos de cero. Dos soluciones linealmente independientes de este ODE se pueden encontrar sin rodeos usando ecuaciones características , excepto para el caso cuando el discriminante , , se desvanece. En este caso,${\ Displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle b ^ {2} -4ac}$

El método de reducción de orden se usa para obtener una segunda solución linealmente independiente de esta ecuación diferencial usando nuestra solución conocida. Para encontrar una segunda solución, tomamos como conjetura

donde hay una función desconocida por determinar. Dado que debe satisfacer la EDO original, la sustituimos de nuevo para obtener${\ Displaystyle v (x)}$${\ Displaystyle y_ {2} (x)}$

Reordenando esta ecuación en términos de las derivadas de obtenemos${\ Displaystyle v (x)}$

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