En matemáticas , el problema de maximización del ángulo de Regiomontanus , es un famoso problema de optimización [1] planteado por el matemático alemán del siglo XV Johannes Müller [2] (también conocido como Regiomontanus ). El problema es el siguiente:
- Un cuadro cuelga de una pared. Dadas las alturas de la parte superior e inferior de la pintura por encima del nivel de los ojos del espectador, ¿a qué distancia de la pared debe pararse el espectador para maximizar el ángulo subtendido por la pintura y cuyo vértice está en el ojo del espectador?
Si el espectador se para demasiado cerca de la pared o demasiado lejos de la pared, el ángulo es pequeño; en algún punto intermedio es lo más grande posible.
El mismo enfoque se aplica para encontrar el lugar óptimo desde el que patear una pelota en el rugby. [3] Para el caso, no es necesario que la alineación de la imagen sea en ángulo recto: podríamos estar mirando una ventana de la Torre Inclinada de Pisa o un agente inmobiliario mostrando las ventajas de un tragaluz en una pendiente. techo del ático.
Solución por geometría elemental
Hay un círculo único que pasa por la parte superior e inferior de la pintura y es tangente a la línea del nivel de los ojos. Por geometría elemental, si la posición del espectador se moviera a lo largo del círculo, el ángulo subtendido por la pintura permanecería constante . Todas las posiciones en la línea al nivel de los ojos, excepto el punto de tangencia, están fuera del círculo y, por lo tanto, el ángulo subtendido por la pintura desde esos puntos es menor.
Según los Elementos III.36 de Euclides (alternativamente, el teorema de la potencia de un punto ), la distancia desde la pared hasta el punto de tangencia es la media geométrica de las alturas de la parte superior e inferior de la pintura. Esto significa, a su vez, que si reflejamos la parte inferior de la imagen en la línea al nivel de los ojos y dibujamos el círculo con el segmento entre la parte superior de la imagen y este punto reflejado como diámetro, el círculo interseca la línea en el ojo. nivel en la posición requerida (por Elementos II.14). [ aclaración necesaria ]
Solución por cálculo
En la actualidad, este problema es ampliamente conocido porque aparece como un ejercicio en muchos libros de texto de cálculo de primer año (por ejemplo, el de Stewart [4] ).
Dejar
- a = la altura de la parte inferior de la pintura por encima del nivel de los ojos;
- b = la altura de la parte superior de la pintura por encima del nivel de los ojos;
- x = distancia del espectador a la pared;
- α = el ángulo de elevación de la parte inferior del cuadro, visto desde la posición del espectador;
- β = el ángulo de elevación de la parte superior de la pintura, visto desde la posición del espectador.
El ángulo que buscamos maximizar es β - α . La tangente del ángulo aumenta a medida que aumenta el ángulo; por lo tanto, es suficiente maximizar
Dado que b - a es una constante positiva, solo necesitamos maximizar la fracción que le sigue. Diferenciando, obtenemos
Por lo tanto, el ángulo aumenta cuando x pasa de 0 a √ ab y disminuye cuando x aumenta desde √ ab . Por tanto, el ángulo es lo más grande posible precisamente cuando x = √ ab , la media geométrica de una y b .
Solución por álgebra
Hemos visto que basta con maximizar
Esto es equivalente a minimizar el recíproco:
Observe que esta última cantidad es igual a
Recordar que
Por tanto, cuando tenemos u 2 + v 2 , podemos sumar el término medio −2 uv para obtener un cuadrado perfecto. Tenemos
Si consideramos x como u 2 y ab / x como v 2 , entonces u = √ x y v = √ ab / x , y entonces
Así tenemos
Esto es lo más pequeño posible precisamente cuando el cuadrado es 0, y eso sucede cuando x = √ ab . Alternativamente, podríamos citar esto como un ejemplo de la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica.
Referencias
- ^ Heinrich Dörrie, 100 grandes problemas de matemáticas elementales: su historia y solución , Dover, 1965, págs. 369–370
- ^ Eli Maor , Trigonometric Delights , Princeton University Press , 2002, páginas 46–48
- ^ Jones, Troy; Jackson, Steven (2001), "Rugby y matemáticas: un vínculo sorprendente entre la geometría, las cónicas y el cálculo" (PDF) , profesor de matemáticas , 94 (8): 649–654.
- ^ James Stewart, Cálculo: principios trascendentales , quinta edición, Brooks / Cole, 2003, página 340, ejercicio 58