En la teoría de los procesos de renovación , una parte de la teoría matemática de la probabilidad, el tiempo residual o el tiempo de recurrencia hacia adelante es el tiempo entre un tiempo dadoy la próxima época del proceso de renovación en consideración. En el contexto de paseos aleatorios, también se conoce como rebasamiento . Otra forma de expresar el tiempo residual es "¿cuánto tiempo más hay para esperar?".
El tiempo residual es muy importante en la mayoría de las aplicaciones prácticas de los procesos de renovación:
- En la teoría de las colas , determina el tiempo restante que un cliente recién llegado a una cola no vacía tiene que esperar hasta ser atendido. [1]
- En las redes inalámbricas , determina, por ejemplo, la vida útil restante de un enlace inalámbrico a la llegada de un nuevo paquete.
- En los estudios de confiabilidad , modela la vida útil restante de un componente.
- etc.
Definicion formal
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/5/55/Renewal_process.reetep.png/350px-Renewal_process.reetep.png)
Considere un proceso de renovación , con tiempos de espera y tiempos de salto (o épocas de renovación), y . Los tiempos de espera son variables aleatorias no negativas, independientes, idénticamente distribuidas y el proceso de renovación se define como . Entonces, a un momento dado, corresponde únicamente un , tal que:
El tiempo residual (o exceso de tiempo) viene dado por el tiempo de a la próxima época de renovación.
Distribución de probabilidad del tiempo residual
Sea la función de distribución acumulativa de los tiempos de espera ser y recordemos que la función renovadora de un proceso es. Entonces, por un tiempo dado, la función de distribución acumulativa de se calcula como: [2]
Diferenciando con respecto a , la función de densidad de probabilidad se puede escribir como
donde hemos sustituido De la teoría de la renovación elemental, como , dónde es la media de la distribución . Si consideramos la distribución límite como, asumiendo que como , tenemos el pdf limitante como
Asimismo, la distribución acumulada del tiempo residual es
Para grande , la distribución es independiente de , por lo que es una distribución estacionaria. Un hecho interesante es que la distribución límite del tiempo de recurrencia hacia adelante (o tiempo residual) tiene la misma forma que la distribución límite del tiempo de recurrencia hacia atrás (o edad). Esta distribución siempre tiene forma de J, con la moda en cero.
Los dos primeros momentos de esta distribución limitante están:
dónde es la varianza de y y son su segundo y tercer momento.
Paradoja del tiempo de espera
El hecho de que (por ) también se conoce como la paradoja del tiempo de espera, la paradoja de la inspección o la paradoja de la teoría de la renovación. La paradoja surge del hecho de que el tiempo medio de espera hasta la próxima renovación, asumiendo que el punto de tiempo de referencia es uniformemente seleccionado al azar dentro del intervalo entre renovaciones, es mayor que el intervalo promedio entre renovaciones . La espera promedio es sólo cuando , es entonces cuando las renovaciones son siempre puntuales o deterministas.
Caso especial: tiempos de espera de Markov
Cuando los tiempos de espera se distribuyen exponencialmente con , los tiempos residuales también se distribuyen exponencialmente. Eso es porque y:
Ésta es una característica conocida de la distribución exponencial , es decir, su propiedad sin memoria . Intuitivamente, esto significa que no importa cuánto tiempo haya pasado desde la última época de renovación, el tiempo restante sigue siendo probabilísticamente el mismo que al comienzo del intervalo de tiempo de espera.
Nociones relacionadas
Los textos de teoría de la renovación generalmente también definen el tiempo invertido o el tiempo de recurrencia hacia atrás (o la vida actual) como. Su distribución se puede calcular de forma similar a la del tiempo residual. Asimismo, el tiempo de vida total es la suma del tiempo de recurrencia hacia atrás y el tiempo de recurrencia hacia adelante.
Referencias
- ^ William J. Stewart, "Probabilidad, cadenas de Markov, colas y simulación: la base matemática del modelado de rendimiento", Princeton University Press, 2011, ISBN 1-4008-3281-0 , 9781400832811
- ^ Jyotiprasad Medhi, "Procesos estocásticos", New Age International, 1994 ISBN 81-224-0549-5 , 9788122405491