En álgebra abstracta , un álgebra de Robbins es un álgebra que contiene una sola operación binaria , generalmente denotada por, y una sola operación unaria generalmente denotada por. Estas operaciones satisfacen los siguientes axiomas :
Para todos los elementos de un , b , y c :
- Asociatividad :
- Conmutatividad :
- Ecuación de Robbins :
Durante muchos años, se conjeturó, pero no se demostró, que todas las álgebras de Robbins son álgebras booleanas . Esto se demostró en 1996, por lo que el término "álgebra de Robbins" es ahora simplemente un sinónimo de "álgebra de Boole".
Historia
En 1933, Edward Huntington propuso un nuevo conjunto de axiomas para álgebras de Boole, que consta de (1) y (2) arriba, más:
- Ecuación de Huntington :
De estos axiomas, Huntington derivó los axiomas habituales del álgebra de Boole.
Muy poco después, Herbert Robbins planteó la conjetura de Robbins , es decir, que la ecuación de Huntington podría reemplazarse con lo que se denominó ecuación de Robbins, y el resultado seguiría siendo el álgebra de Boole .interpretaría la combinación booleana yComplemento booleano . Boolean cumple y las constantes 0 y 1 se definen fácilmente a partir de las primitivas del álgebra de Robbins. A la espera de la verificación de la conjetura, el sistema de Robbins se denominó "álgebra de Robbins".
Verificar la conjetura de Robbins requería probar la ecuación de Huntington, o alguna otra axiomatización de un álgebra booleana, como teoremas de un álgebra de Robbins. Huntington, Robbins, Alfred Tarski y otros trabajaron en el problema, pero no pudieron encontrar una prueba o un contraejemplo.
William McCune demostró la conjetura en 1996, utilizando el probador automático de teoremas EQP . Para una prueba completa de la conjetura de Robbins en una notación consistente y siguiendo de cerca a McCune, ver Mann (2003). Dahn (1998) simplificó la prueba de máquina de McCune.
Ver también
Referencias
- Dahn, BI (1998) Resumen de "Las álgebras de Robbins son booleanas: una revisión de la solución generada por computadora de McCune del problema de Robbins ", Journal of Algebra 208 (2): 526–32.
- Mann, Allen (2003) " Una prueba completa de la conjetura de Robbins. "
- William McCune , "Las álgebras de Robbins son booleanas ", con enlaces a pruebas y otros artículos.