Clifton era hijo de un clérigo, durante muchos años capellán británico en Brujas , y nació en Gloucester el 4 de enero de 1810. La primera parte de su educación estuvo a cargo de su padre en Worcester . En 1830 se matriculó en el Worcester College de Oxford . Procedió BA en 1831 y MA en 1834, y tomó las órdenes sagradas en 1833, de manos del obispo de Oxford. En 1833 fue elegido miembro de su colegio.
Antes de tomar su primera curaduría, que fue en Berkshire , pasó algún tiempo en Oxford como tutor. En 1837 fue designado para el cargo de secretario en las órdenes de la Iglesia Colegiada de Manchester, y el 6 de diciembre de 1843 fue elegido para una beca por el capítulo colegiado. Cuando la iglesia fue elevada a la dignidad de catedral, se convirtió en canónigo. En 1843 fue instituido en la rectoría de Somerton en Oxfordshire , un beneficio que ocupó con su promoción de Manchester hasta su muerte. Participó en la administración de organizaciones benéficas públicas y sociedades religiosas en Manchester, y fue síndico del Owens College , donde su hijo Robert Bellamy Clifton fue durante algún tiempo profesor de filosofía experimental.
Este artículo incorpora texto de una publicación ahora de dominio público : " Clifton, Robert Cox ". Diccionario de Biografía Nacional . Londres: Smith, Elder & Co. 1885–1900.