Un polinomio multivariado es SOS-convexo (o suma de cuadrados convexos ) si su matriz Hessiana H se puede factorizar como H ( x ) = S T ( x ) S ( x ) donde S es una matriz (posiblemente rectangular) cuyas entradas son polinomios en x . [1] En otras palabras, la matriz de Hesse es un polinomio de matriz SOS .
Una definición equivalente es que la forma definida como g ( x , y ) = y T H ( x ) y es una suma de cuadrados de formas . [2]
Si un polinomio es SOS-convexo, también es convexo. [ cita requerida ] Dado que establecer si un polinomio es convexo SOS equivale a resolver un problema de programación semidefinito , la convexidad SOS se puede utilizar como un proxy para establecer si un polinomio es convexo. Por el contrario, decidir si un polinomio genérico de grado mayor que cuatro es convexo es un problema NP-difícil. [3]
El primer contraejemplo de un polinomio que es convexo pero no SOS-convexo fue construido por Amir Ali Ahmadi y Pablo Parrilo en 2009. [4] El polinomio es un polinomio homogéneo que es suma de cuadrados y está dado por: [4]